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Wie du Logarithmen bestimmst


Schritt-für-Schritt-Anleitung

Wie du Logarithmen bestimmst

Aufgabe

Bestimme ohne Taschenrechner:

a) \(log_3{27}\)

b) \(log_2{\frac{1}{16}}\)

c) \(log_5{\sqrt{125}}\)

Hinweis

Um Logarithmen ohne Taschenrechner bestimmen zu können, musst du die wichtigsten Quadratzahlen und Potenzen auswendig können.

Lösungsschritte für Teilaufgabe a)

a) \(log_3{27}\)

Schritt 1: In Exponentialschreibweise umformen

Um einen Logarithmus ohne Taschenrechner bestimmen zu können, musst du ihn in die Exponentialschreibweise umformen. Dazu benutzt du die Definition des Logarithmus.

\(log_ab = x \Leftrightarrow b = a^x\)

Für diese Aufgabe gilt also:

\(log_327 = x \Leftrightarrow 27 = 3^x\)

Schritt 2: In Potenzschreibweise bringen

Um in der entstandenen Gleichung das x bestimmen zu können, müssen die Terme auf den beiden Seiten der Gleichung Potenzen mit der gleichen Basis sein. Dazu muss dir auffallen, dass man 27 auch als \(3^3\) schreiben kann.

Dies führt zu der folgenden Gleichung:

\(3^3 = 3^x\)

Zwei Potenzen mit der gleichen Basis sind genau dann gleich, wenn ihre Exponenten auch gleich sind. Das heißt also, dass x gleich 3 sein muss.

x = 3

Lösungsschritte für Teilaufgabe b)

b) \(log_2{\frac{1}{16}}\)

Schritt 1: In Exponentialschreibweise umformen

Auch diesen Logarithmus kannst du nur bestimmen, wenn du ihn in die Exponentialschreibweise umformst. Wieder gilt:

\(log_ab = x \Leftrightarrow b = a^x\)

Mit den Zahlen aus der Aufgabe sieht das so aus:

\(log_2{\frac{1}{16}} = x \Leftrightarrow \frac{1}{16} = 2^x\)

Schritt 2: In Potenzschreibweise bringen

Wieder müssen die Terme auf den beiden Seiten der Gleichung Potenzen mit der gleichen Basis sein. Dazu muss dir auffallen, dass man 16 auch als \(2^4\) schreiben kann. Du erhältst also:

\(\frac{1}{2^4} = 2^x\)

Um aus dem Bruch eine normale Potenz zu machen, verwendest du jetzt eines der Potenzrechengesetze.

\(\frac{1}{x^n} = x^{-n}\)  \(\Rightarrow \frac{1}{2^4} = 2^{-4}\)

Deine Gleichung sieht dann also so aus:

\(2^{-4} = 2^x\)

Damit die Gleichung erfüllt ist, müssen die Exponenten gleich sein. Also gilt:

\(x = -4\)

Lösungsschritte für Teilaufgabe c)

c) \(log_5{\sqrt{125}}\)

Schritt 1: In Exponentialschreibweise umformen

Auch um diesen Logarithmus ohne Taschenrechner zu bestimmen, musst du ihn zuerst in die Exponentialschreibweise umformen. Wieder gilt:

\(log_ab = x \Leftrightarrow b = a^x\)

Für diese Gleichung gilt dann also:

\(log_5{\sqrt125} = x \Leftrightarrow \sqrt{125} = 5^x\)

Schritt 2: In Potenzschreibweise bringen

Wieder müssen die Terme auf den beiden Seiten der Gleichung Potenzen mit der gleichen Basis sein. Dazu muss dir auffallen, dass man 125 auch als \(5^3\) schreiben kann.

Die Gleichung sieht dann so aus:

\(\sqrt{5^3} = 5^x\)

Um die Wurzel loszuwerden, schreiben wir sie in Potenzschreibweise.

\(\sqrt[m]{x^n} = x^\frac{n}{m}\)  \(\Rightarrow \sqrt{5^3} = 5^\frac{3}{2}\)

Also gilt für deine Gleichung:

\(5^{\frac{3}{2}} = 5^x\)

Diese Gleichung ist erfüllt, wenn die beiden Exponenten gleich groß sind. Das Ergebnis lautet daher:

\(x = \frac{3}{2}\)

Lösung

Teilaufgabe a): \(x = 3\)

Teilaufgabe b): \(x = -4\)

Teilaufgabe c): \(x = \frac{3}{2}\)

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