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Wie du die Volumenformel für Berechnungen am Prisma anwendest


Schritt-für-Schritt-Anleitung

Wie du die Volumenformel für Berechnungen am Prisma anwendest

Aufgabe

Ein neuer 1,5-Liter-Saftkarton soll die Form eines geraden dreiseitigen Prismas besitzen. Die Grundfläche soll ein gleichseitiges Dreieck sein. Der Karton soll \(5\sqrt{3}\) cm hoch werden. Ermittle die passende Seitenlänge der Grundfläche für diesen Karton.

Schritt 1: Skizze anfertigen

Um dir besser vorstellen zu können, wie der Getränkekarton aussehen soll und wie die Abmessungen zusammenhängen, solltest du dir als Erstes eine saubere Skizze machen:

Gegeben sind das Volumen und die Höhe h des Prismas. Gesucht ist die Seitenlänge a der Grundfläche.

Wie du die Volumenformel für Berechnungen am Prisma anwendest - Abbildung 1

 

Schritt 2: Volumenformel für das Prisma anwenden

Die Volumenformel für ein Prisma lautet

\(V=G\cdot h,\)

wobei G die Grundfläche und h die Höhe des Prismas ist. V und h sind gegeben, also kannst du G ausrechnen:

\(G=\frac{V}{h}=\frac{1,5\ell}{5\sqrt{3}\text{ cm}}=\frac{1,5\text{ dm}^3}{0,5\sqrt{3}\text{ dm}}=\sqrt{3}\text{ dm}^2\). Um aus G die Größe a zu berechnen, brauchst du die Formel für die Fläche eines Dreiecks:

\(\begin{align*} A_{\text{Dreieck}}=\frac{1}{2}\cdot \text{Grundseite}\cdot\text{Höhe}, \end{align*} \)

also in deinem Fall \(G=\frac{1}{2}\cdot a\cdot d\) (siehe Abb. unten).

Wie du die Volumenformel für Berechnungen am Prisma anwendest - Abbildung 2

(Wir haben die Höhe des Dreiecks d genannt, weil der Buchstabe h schon für die Höhe des Prismas vergeben war.) Um aus der Fläche die Länge a zu ermitteln, brauchst du noch die fehlende Größe d.

Schritt 3: Zusammenhang zwischen a und d ermitteln

Die Grundfläche des Getränkekartons ist ein gleichseitiges Dreieck, das von der Höhe d in zwei rechtwinklige Dreiecke zerlegt wird.

Wie du die Volumenformel für Berechnungen am Prisma anwendest - Abbildung 3

Die Skizze legt nahe, dass die Grundseite von der Höhe genau in der Mitte berührt wird, d. h. dass \(p=\frac{a}{2}\) ist. Im folgenden Absatz wird im Detail bewiesen, dass diese Vermutung stimmt.

Beweis, dass \(p=\frac{a}{2}\) ist

Aufgrund der gleichen Seitenlängen sind auch die Innenwinkel des gleichseitigen Dreiecks gleich groß. Ist ein Innenwinkel \(\alpha\), so folgt aus dem Winkelsummensatz

\(\alpha+alpha+alpha=180^{\circ}\), also \(\alpha=\frac{180^{\circ}}{3}=60^{\circ}\).

Die Höhe steht immer senkrecht zur Grundseite, also hat das rote Dreieck an den unteren Ecken die Winkel 90 ° und 60 °. Nach dem Winkelsummensatz ist der obere Innenwinkel \(180^{\circ}-90^{\circ}-60^{\circ}=30^{\circ}.\) Somit ist der obere Winkel des roten Dreiecks genau halb so groß wie der obere Winkel des großen gleichseitigen Dreiecks. Also hat das linke Teildreieck an der oberen Spitze ebenfalls einen Winkel von 30 °.

Die beiden Schenkel dieses Winkels haben dieselben Längen a und d wie die entsprechenden Seiten im roten Dreieck. Nach dem SWS-Kongruenzsatz sind somit die beiden Teildreiecke des gleichseitigen Dreiecks kongruent.

Insbesondere sind die beiden unteren Seiten gleich lang, also \(p=\frac{a}{2}\).

Anwendung des Satz des Pythagoras

Im roten rechtwinkligen Dreieck gilt der Satz des Pythagoras, der in diesem Fall \(p^2+d^2=a^2\) lautet.

Wegen \(p=\frac{a}{2}\) gilt also \(\left(\frac{a}{2}\right)^2+d^2=a^2,\) d. h. \(d^2=a^2-\frac{1}{4}a^2=\frac{3}{4}a^2.\) Somit ist \(d=\frac{1}{2}\sqrt{3}a. \)

Schritt 4: Seitenlänge a berechnen

Das letzte Ergebnis \((d=\frac{1}{2}\sqrt{3}a)\) setzt du in die Formel für die Fläche des Dreiecks ein:

Aus \(G=\frac{1}{2}\cdot a\cdot d\) wird \(G=\frac{1}{2}\cdot a\cdot\frac{1}{2}\sqrt{3}a=\frac{1}{4}\sqrt{3}a^2.\) Laut Schritt 2 ist andererseits \(G=\sqrt{3}\text{ dm}^2\). Also folgt \(\frac{1}{4}\sqrt{3}a^2=\sqrt{3}\text{ dm}^2.\) Diese Gleichung musst du nach a auflösen.

\(\begin{align*}a^2=\frac{\sqrt{3}\text{ dm}^2}{\frac{1}{4}\sqrt{3}}=4\text{ dm}^2\\\Longrightarrow a=2\text{ dm}\end{align*}\)

 

Die Seitenlänge der Grundfläche des Getränkekartons muss also \(a=2\text{ dm}\) betragen.

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