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Wie du Vektoren in ein Koordinatensystem einträgst


Aufgabe

Die drei Vektoren \(\overrightarrow{a}=\left(\begin{array}{c}2\\ -1\\2\end{array}\right)\), \(\overrightarrow{b}=\left(\begin{array}{c}-4\\ -1\\-1\end{array}\right)\) und \(\overrightarrow{c}=\left(\begin{array}{c}2\\ 2\\-1\end{array}\right)\) bilden ein Dreieck mit den Eckpunkten A, B, C. Punkt A hat die Koordinaten A(1|3|2). Zeichne die Vektoren \(\overrightarrow{a}\), \(\overrightarrow{b}\) und \(\overrightarrow{c}\) in ein räumliches Koordinatensystem ein.

Schritt 1: Stelle Vorüberlegungen an

Du kannst die Vektoren \(\overrightarrow{a}\), \(\overrightarrow{b}\) und \(\overrightarrow{c}\) nicht einfach so in ein Koordinatensystem einzeichnen, da es ja unendlich viele Repräsentanten dieser Vektoren gibt. Erst mit dem Bezugspunkt A(1|3|2) und der Information, dass \(\overrightarrow{a}\), \(\overrightarrow{b}\) und \(\overrightarrow{c}\) ein Dreieck bilden, kannst du die Zeichnung anfertigen. Da die Vektoren drei Koordinaten haben, muss es sich um ein dreidimensionales bzw. räumliches Koordinatensystem handeln.

Schritt 2: Zeichne das Koordinatensystem

Ein räumliches Koordinatensystem musst du als Schrägbild zeichnen. Dabei muss die y-Achse von links nach rechts verlaufen. Die z-Achse liegt rechtwinklig zur y-Achse, während die x-Achse in einem Winkel von 135° zu diesen beiden Achsen steht. Häufig heißt die x-Achse auch \(x_{1}\)-Achse, die y-Achse heißt dann \(x_{2}\)-Achse und die z-Achse ist somit die \(x_{3}\)-Achse (siehe Koordinatensystem unten).

Wie du Vektoren in ein Koordinatensystem einträgst - Abbildung 1

Schritt 3: Zeichne die Vektoren ein

Zuerst musst du den Punkt A(1|3|2) in das Koordinatensystem einzeichnen. Dein Startpunkt ist der Koordinatenursprung. Von dort gehst du zuerst eine Einheit auf der \(x_{1}\)-Achse vorwärts, dann 3 Einheiten auf der \(x_{2}\)-Achse nach rechts und abschließend 2 Einheiten auf der \(x_{3}\)-Achse nach oben.

Wie du Vektoren in ein Koordinatensystem einträgst - Abbildung 2

Jetzt kannst du den Vektor \(\overrightarrow{a}=\left(\begin{array}{c}2\\ -1\\2\end{array}\right)\)einzeichnen. Da ein Vektor eine Verschiebung im Raum beschreibt, geben dir die Koordinaten die Verschiebungen des Punktes A auf der \(x_{1}\)-, \(x_{2}\)- und \(x_{3}\)-Achse an. Um den Vektor in das Koordinatensystem einzuzeichnen, musst du also um 2 Einheiten auf der \(x_{1}\)-Achse vorwärtsgehen, dann um eine Einheit auf der \(x_{2}\)-Achse in negative Richtung und um 2 Einheiten auf der \(x_{3}\)-Achse nach oben. Beachte dabei, dass dein Startpunkt nicht der Koordinatenursprung, sondern der Punkt A ist.

Wie du Vektoren in ein Koordinatensystem einträgst - Abbildung 3

 Die Vektoren \(\overrightarrow{b}=\left(\begin{array}{c}-4\\ -1\\-1\end{array}\right)\) und \(\overrightarrow{c}=\left(\begin{array}{c}2\\ 2\\-1\end{array}\right)\) zeichnest du genauso ein. Bei dem Vektor \(\overrightarrow{b}\) musst du um 4 Einheiten in negative \(x_{1}\)-Richtung, um eine Einheit in negative \(x_{2}\)-Richtung und um eine Einheit in negative \(x_{3}\)-Richtung verschieben. Bei dem Vektor \(\overrightarrow{c}\) musst du um 2 Einheiten in \(x_{1}\)-Richtung, um 2 Einheit in \(x_{2}\)-Richtung und um eine Einheit in negative \(x_{3}\)-Richtung verschieben.

Lösung

Wie du Vektoren in ein Koordinatensystem einträgst - Abbildung 4

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