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Wie du die "Dreimal-mindestens-Aufgabe" löst


Aufgabe

Bei Kontrollen der Polizei werden Fahrräder, die Mängel aufweisen, beanstandet. Bei diesen Prüfungen hat durchschnittlich ein Sechstel der Fahrräder Mängel.

Bestimme die Anzahl n der Fahrräder, die von der Polizei kontrolliert werden müssen, damit mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 90 % mindestens ein Fahrrad mit Mängeln entdeckt wird.

Schritt 1: Ungleichung aufstellen

Die Anzahl der kontrollierten Fahrräder, die Mängel aufweisen, werde durch die Zufallsvariable \(X\) angegeben.

Die Aufgabenstellung verlangt, dass folgende Bedingung gewährleistet ist:

\(\color{green} {P(X\geq 1)\geq 90 %}\)

Die Wahrscheinlichkeit \(P(X\geq 1)\) hängt ab von den Parametern \(n\) (Anzahl der kontrollierten Fahrräder) und \(p\) (Wahrscheinlichkeit, dass bei einer Einzelkontrolle ein Fahrrad beanstandet wird). Vorgegeben ist nur \(p=\frac{1}{6} \) und du musst das kleinste \(n\in\mathbb{N}_0\) finden, sodass die grüne Ungleichung gewährleistet ist.

Schritt 2: Formel nach n auflösen und Antwort formulieren

Um zu sehen, wie die Wahrscheinlichkeit \(P(X\geq 1)\) von \(n\) abhängt, betrachtest du das Gegenereignis von \(X\geq 1\), nämlich \(X=0\) (\(X\) kann ja nur ganzzahlige Werte \(\geq 0\) annehmen).

Tipp: Immer wenn ein Ereignis mit „mindestens ein …“ formuliert ist, solltest du mit dem Gegenereignis arbeiten, das dann weniger aufwendig zu berechnen ist.

Merkregel: „Mindestens ein“ heißt 1 minus „kein“.

Nach diesen Überlegungen ist \(\color{maroon}{P(X\geq 1)=1-P(X=0)}\), wobei \(P(X=0)\) direkt mit der Bernoulli-Formel berechnet wird.

\(P(X=0)=\binom{n}{0}\cdot p^0\cdot (1-p)^{n-k}\)

Hier ist \( p=\frac{1}{6}\), also ist \(1-p=\frac{5}{6}\).

\(P(X=0)=\left(\frac{5}{6}\right)^n\)

Setze nun die braune Gleichung in die grüne Ungleichung ein und ersetze dann \(P(X=0)\) durch den eben berechneten Term. Das Ergebnis ist die Ungleichung:

\(1-\left(\frac{5}{6}\right)^n\geq 90 %=0,9\)

Jetzt löst du die Ungleichung nach n auf.

\(1-\left(\frac{5}{6}\right)^n\geq 0{,}9\)

\(1-0{,}9\geq\left(\frac{5}{6}\right)^n\)

\(\ln(0{,}1)\geq\ln\left(\frac{5}{6}\right)^n\)

\(\ln(0{,}1)\geq n\ln\left(\frac{5}{6}\right)\)

\(\frac{\ln(0{,}1)}{\ln\left(\frac{5}{6}\right)}\leq n\)

Achtung: Im letzten Schritt wurde durch die negative Zahl \(\ln\left(\frac{5}{6}\right)\) geteilt, weswegen sich das Ungleichheitszeichen umkehrt!

Der Taschenrechner liefert:

\(\frac{\ln(0{,}1)}{\ln\left(\frac{5}{6}\right)}\approx 12{,}63\)

Die kleinste natürliche Zahl, die die grüne Ungleichung erfüllt, ist also \(n=13\).

Jetzt kannst du deinen Antwortsatz formulieren, z. B. so:

Es müssen mindestens 13 Fahrräder kontrolliert werden, damit mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 90 % mindestens eines mit Mängeln entdeckt wird.
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