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Wie du Bruchgleichungen löst


Aufgabe

Löse die folgende Gleichung:

\(\Large{\frac{3x\ +\ 2}{2x\ -\ 6} + \frac{2x}{4x\ -\ 12} = \frac{x\ -\ 3}{3x\ -\ 6}}\)

Schritt 1: Lege die Definitionsmenge fest

Das Besondere an Bruchgleichungen gegenüber „normalen“ Gleichungen ist, dass bei ihnen die Variable (hier \(x\)) auch im Nenner eines Bruches auftauchen kann. Da man aber nicht durch 0 teilen darf, ist bei der Behandlung von Bruchgleichungen Vorsicht geboten. Zahlen, die dazu führen würden, dass der Nenner eines Bruches den Wert 0 annimmt, dürfen in die Gleichung nicht für \(x\) eingesetzt werden. Untersuche also als Erstes, welcher Wert oder welche Werte für \(x\) nicht erlaubt sind.

\(2x-6=0 \Leftrightarrow x=3\)

\(4x-12=0 \Leftrightarrow x=3\)

\(3x-6=0 \Leftrightarrow x=2\)

Das heißt also, dass du die Zahlen 2 und 3 aus der Definitionsmenge ausschließen musst. Die Definitionsmenge der Gleichung ist daher:

\(\mathbb{R}\setminus\{2,3\}\)

Schritt 2: Ermittle den Hauptnenner

Um die unterschiedlichen Brüche in deiner Gleichung miteinander „verarbeiten“ zu können, musst du ihren Hauptnenner bestimmen, also das kleinste gemeinsame Vielfache aller auftretenden Nenner. Dazu stellst du die Nenner jeweils in faktorisierter Schreibweise dar, also als Produkt.

\(2x-6=2(x-3)\)

\(4x-12=4(x-3)=2^2(x-3)\)

\(3x-6=3(x-2)\)

Der Hauptnenner der Brüche muss nun alle auftretenden Faktoren beinhalten. Dabei geht es aber nicht darum, alle Faktoren miteinander zu multiplizieren, das wäre zu viel! Überprüfe jeweils, was die höchste Potenz ist, in der ein Faktor auftritt; diese Potenz muss dann auch ein Faktor im Hauptnenner sein. Im ersten und im zweiten Nenner tritt \(2\) als Faktor auf. Im ersten Nenner in der Potenz \(1\) und im zweiten Nenner in der Potenz \(2\). Deshalb muss \(2^2\) ein Faktor im Hauptnenner sein. Der Faktor \((x-3)\) tritt ebenfalls sowohl im ersten als auch im zweiten Nenner auf (jeweils in der Potenz \(1\)) und muss daher auch ein Faktor des Hauptnenners sein. Die Faktoren \(3\) und \((x-2)\) treten jeweils nur im dritten Nenner auf, daher musst du hier ihre Potenz nicht mit den anderen Nennern abgleichen. Insgesamt ist der Hauptnenner dann:

\(2^2\cdot 3(x-2)(x-3)=12(x-2)(x-3)\)

Schritt 3: Multipliziere mit dem Hauptnenner und kürze die Brüche

Nun kannst du mit der Umformung deiner Gleichung beginnen. Dazu multiplizierst du sie mit dem in Schritt 2 gefundenen Hauptnenner. Dadurch dass jeder Nenner als Faktor im Hauptnenner auftritt, kürzt er sich bei der Multiplikation jeweils weg und es treten dann keine Brüche mehr auf.

\(\Large{\frac{3x\ +\ 2}{2x\ -\ 6} + \frac{2x}{4x\ -\ 12}} = \frac{x\ -\ 3}{3x\ -\ 6}\)    \(| \cdot 12(x-2)(x-3)\)

\(\Large\Leftrightarrow\frac{(3x\ +\ 2)\ \cdot\ 12 (x\ -\ 2)(x\ -\ 3)}{2(x\ -\ 3)} + \frac{2x\ \cdot\ 12(x\ -\ 2)(x\ -\ 3)}{4(x\ -\ 3)} = \frac{(x\ -\ 3)\ \cdot\ 12(x\ -\ 2)(x\ -\ 3)}{3(x\ -\ 2)}\)

\(\Leftrightarrow (3x+2)\cdot 6(x-2) + 2x\cdot3(x-2) = (x-3)\cdot4(x-3)\)

Schritt 4: Löse die Gleichung auf

Nun kannst du die Gleichung mit den üblichen Methoden auflösen.

\((3x+2)\cdot 6(x-2) + 2x\cdot3(x-2) = (x-3)\cdot4(x-3)\)

\(\Leftrightarrow (3x+2)(6x-12) + 2x(3x-6) – (x-3)(4x-12)=0\)

\(\Leftrightarrow 18x^2-36x+12x-24+6x^2-12x-4x^2+12x+12x-36=0\)

\(\Leftrightarrow 20x^2-12x-60=0\)

\(\Leftrightarrow x^2-\frac{3}{5}x-3=0\)

Die pq-Formel liefert dir als Lösungen für diese Gleichung:

\(x_1=\Large \frac{3}{10}+\frac{\sqrt{309}}{10}\) und

\(x_2=\Large \frac{3}{10}-\frac{\sqrt{309}}{10}\)

Schritt 5: Kontrolliere die Ergebnisse

Für die (möglichen) Lösungen, die du in Schritt 4 berechnet hast, musst du nun noch überprüfen, ob du sie auch tatsächlich in die Gleichung einsetzen dürftest. Du musst also kontrollieren, ob sie in der in Schritt 1 bestimmten Definitionsmenge liegen. Da weder \(x_1 =2\) noch \(x_1=3\) und auch nicht \(x_2=2\) bzw. \(x_2=3\) gilt, liegen \(x_1\) und \(x_2\) in der Definitionsmenge und sind somit auch wirklich beides Lösungen.

Lösung

Die Lösungen sind:

\(x_1=\Large \frac{3}{10}+\frac{\sqrt{309}}{10}\) und

\(x_2=\Large \frac{3}{10}-\frac{\sqrt{309}}{10}\)

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