Bedingte Wahrscheinlichkeit

Bei einem mehrstufigen Zufallsexperiment versteht man unter der bedingten Wahrscheinlichkeit P(A|B) die Wahrscheinlichkeit dafür, dass das Ereignis A eintritt, vorausgetzt bzw. unter der Bedingung, dass das Ereignis B bereits eingetreten ist bzw. sicher eintreten wird. Eine andere Schreibeweise setzt die Bedingung als kleinen Index: P_B(A) = P(A|B). Man liest jeweils „P von A unter der Bedingung B".

Beispiel:

Aus einer Urne mit vier Kugeln (2 rote, 2 blaue) werden nacheinander 2 Kugeln gezogen (und nicht zurückgelegt). Die beiden Ereignisse sollen jetzt sein A:  „Blau beim 2. Ziehen“ und B: „Blau beim 1. Ziehen“. Wenn das Ereignis B eintritt, gibt es nur noch 1 blaue Kugel und 2 rote, also ist P(A|B) = 1/3. Wenn dagegen B nicht eintritt, sind vor dem 2. Ziehen 2 blaue und 1 rote Kugel in der Urne, also ist $P (A|\bar B) = 2/3$.

Man dies auch allgemein in einem Baumdiagramm darstellen:
 

Die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis B ist P(B). und steht an dem Zweig, der auf der ersten Stufe zu B führt. Entsprechend steht die Wahrscheinlichkeit für A, wenn B eingetreten ist, an dem Zweig, der auf der Zweiten Stufe von B nach A führt. Die Wahrscheinlichkeit dafür, A und B beide eintreten, also $P (A \cap B)$, ist dann nach der ersten Pfadregel das Produkt aller Wahrscheinlichkeiten auf dem Weg vom Start über B nach A, d. h. $P (A \cap B) = P(B) \cdot P(A|B)$. Dies kann man nach der bedingten Wahrscheinlichkeit auflösen und erhält

$P(A|B) = \displaystyle \frac{P (A \cap B)}{P(B)}$

Wenn zwei Ereignisse stochastisch unabhängig sind, ist die Wahrscheinlichkeit, dass beide zugleich eintreten, gleich dem Produkt ihrer Wahrscheinlichkeiten, also $P (A \cap B) = P(B) \cdot P(A)$. Dann ist P(A|B) = P(A), was einfach bedeutet, dass die Wahrscheinlichkeit für A gleich ist, egal ob B eintritt oder nicht.

Den Zusammenhang zwischen den Wahrscheinlichkeiten P(A|B) und P(B|A) gibt der Satz von Bayes an:

$P(A|B) = \displaystyle \frac{P (B|A) \cdot P(A)}{P(B)}$