Sätze und Beweise in der Geometrie

Sätze und Beweise (einfach)

Aufgabe:

Ziehe die Begriffe zu den passenden Erklärungen.

Axiom

Definition

Beweis

Satz

Begriff	Erklärung
	Begriffsbestimmung
	grundlegende, nicht beweisbare Aussage
	allgemeine, beweisbare Aussage
	logische Schlussfolgerungen, die die Richtigkeit eines Satzes zeigen

Sätze und Beweise (mittel)

Aufgabe:

Unterscheide zwischen Definitionen und Sätzen. Ziehe die Beschreibungen in die passenden Felder.

Greifbares Element 1 von 4.

Wenn $n$ eine natürliche Zahl ist, dann ist $n^2 + n$ durch $2$ teilbar.

Greifbares Element 2 von 4.

Ein Quadrat ist ein Rechteck mit vier gleich langen Seiten.

Greifbares Element 3 von 4.

Ein stumpfer Winkel ist ein Winkel zwischen $90°$ und $180°$ .

Greifbares Element 4 von 4.

Das Quadrat einer Zahl ist das Produkt dieser Zahl mit sich selbst.

Ablagezone 1 von 2.

Definition

Ablagezone 2 von 2.

Satz

Aufgabe:

Wähle die korrekt formulierte Umkehrung dieses Satzes aus:

Wenn eine Zahl durch $6$ teilbar ist, dann ist sie auch durch $2$ und $3$ teilbar.

Wenn eine Zahl durch $2$ oder $3$ teilbar ist, dann ist sie auch durch $6$ teilbar.
.
Wenn eine Zahl durch $2$ und $3$ teilbar ist, dann ist sie auch durch $6$ teilbar.
.
Wenn eine Zahl durch $3$ teilbar ist, dann ist sie auch durch $6$ teilbar.
.
Eine durch $6$ teilbare Zahl ist auch durch $2$ und $3$ teilbar.
.

Aufgabe:

Unterscheide zwischen einem Satz (allgemeine Aussage) und einer speziellen Aussage.

Greifbares Element 1 von 4.

Wenn eine Zahl ein Vielfaches von $6$ ist, dann ist sie auch durch $2$ teilbar.

Greifbares Element 2 von 4.

Die Zahl $36$ ist durch $2$ teilbar.

Greifbares Element 3 von 4.

Das Quadrat einer ungeraden Zahl ist ebenfalls eine ungerade Zahl.

Greifbares Element 4 von 4.

Das Quadrat von $5$ ist $25$ und damit eine ungerade Zahl.

Ablagezone 1 von 2.

Satz

Ablagezone 2 von 2.

Spezielle Aussage

Aufgabe:

In der Klasse $7\text{a}$ wird die Behauptung aufgestellt, dass ein einziges Gegenbeispiel ausreicht, um einen Satz für ungültig zu erklären.

Was denkst du dazu? Klicke die passende Aussage an.

Ein einzelnes Gegenbeispiel kann den Satz noch nicht widerlegen. Es müssen mehrere solcher Beispiele gefunden werden.
.
Ein einziges Gegenbeispiel reicht aus, um einen Satz zu widerlegen.
.
Ein Beispiel ist nur eine spezielle Aussage. Eine spezielle Aussage kann einen allgemeinen Satz nicht widerlegen.
.

Sätze und Beweise (schwer)

Aufgabe:

Finde passende Beispiele, mit denen du diese beiden Sätze widerlegen kannst. Ziehe sie in die Felder.

Greifbares Element 1 von 4.

$18$ ist durch $6$ teilbar, aber nicht durch $4$

Greifbares Element 2 von 4.

$28$ ist durch $4$ teilbar, aber nicht durch $6$

Greifbares Element 3 von 4.

$\underbrace{2}_{\text{gerade}} + \underbrace{3}_{\text{ungerade}} = \underbrace{5}_{\text{ungerade}}$

Greifbares Element 4 von 4.

$\underbrace{1}_{\text{ungerade}} +\underbrace{3}_{\text{ungerade}} = \underbrace{4}_{\text{gerade}}$

Ablagezone 1 von 2.

Wenn eine Zahl durch $6$ teilbar ist,

dann ist sie auch durch $4$ teilbar.

Ablagezone 2 von 2.

Wenn eine Zahl $a$ gerade und eine Zahl $b$

ungerade ist, dann ist $a + b$ gerade.

Aufgabe:

Sarah schaut sich diesen Satz genauer an:

„Wenn $n$ eine natürliche Zahl ist, dann ist $n^2 + n$ durch $2$ teilbar.“

Schritt 1
Zuerst zeigt Sarah durch Einsetzen, dass der Satz für die kleinste natürliche Zahl $n = 1$ gilt. Sie bemerkt, dass für alle weiteren natürlichen Zahlen das Ergebnis von $n^2 + n$ größer als $2$ ist. Der Satz könnte also stimmen.

Schritt 2
Dann überlegt sie sich, dass man den Term auch so schreiben kann: $n^2 + n = n \cdot (n + 1)$ .

Schritt 3
Jetzt unterscheidet sie:
1) Wenn $n$ gerade ist, dann ist $n$ durch $2$ teilbar und damit ist auch $n\cdot (n +1 )$ durch $2$ teilbar.
2) Wenn $n$ ungerade ist, dann ist $n+1$ gerade und somit durch $2$ teilbar und damit ist auch $n\cdot (n +1 )$ durch $2$ teilbar.

Schritt 4
Sarah erklärt, dass sie mit diesen Schlussfolgerungen den Satz bewiesen hat.

Klicke alle Schritte an, die Sarah korrekt ausgeführt hat.

Richtig!

Falsch!

Vergessen!

Aufgabe:

Prüfe, ob diese Sätze und ihre Umkehrungen gelten. Falls dies der Fall ist, ziehe „ja“ in das entsprechende Feld, falls nicht, dann „nein“.

Satz	Gilt der Satz?	Gilt die Umkehrung?
Wenn ein Viereck vier rechte Winkel besitzt, dann ist die Figur ein Quadrat.
Wenn eine Zahl durch $6$ teilbar ist, dann ist sie auch durch $2$ und $3$ teilbar.
Wenn zwei Zahlen $a$ und $b$ beide ungerade sind, dann ist $a + b$ gerade.

nein

ja

Mathematik

Sätze und Beweise in der Geometrie

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Lernjahr 1

Enthaltene Dienste

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