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Vektoren, Variante (1)


Aufgabe 1

Gegeben sind die Punkte \(A(1|-2|2)\), \(B(4|1|-3)\) und \(C(0|0,5|4)\).

  1. Gib die Ortsvektoren an, die zu den Punkten \(A,\ B,\ C\) gehören.
  2. Bestimme den Vektor \(\overrightarrow{AB}\). Welchen Abstand haben die Punkte A und B voneinander?
  3. Bestimme den Punkt \(D\) so, dass für den Vektor \(\overrightarrow{CD}\) gilt: \(\overrightarrow{CD}=\left(\begin{array}{c}1\\ 2 \\3\end{array}\right)\).
  4. Zeichne das Dreieck \(ABC\) in ein Koordinatensystem ein.

Lösung

  1. \(\overrightarrow{a}=\left(\begin{array}{c}1\\ -2 \\2\end{array}\right)\)\(\overrightarrow{b}=\left(\begin{array}{c}4\\ 1 \\-3\end{array}\right)\), \(\overrightarrow{c}=\left(\begin{array}{c}0\\ 0,5 \\4\end{array}\right)\)
  2. \(\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{b}-\overrightarrow{a}= \left(\begin{array}{c}4\\ 1 \\-3\end{array}\right)-\left(\begin{array}{c}1\\ -2 \\2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}3\\ 3 \\-5\end{array}\right)\)
    \(|\overrightarrow{AB}|=\sqrt{3²+3²+(-5)²}=\sqrt{43}\)
    Du weißt nicht mehr, wie es geht? Dann schau hier.​ ​
  3. \(\overrightarrow{d}=\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{c}= \left(\begin{array}{c}1\\ 2 \\3\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}0\\ 0,5 \\4\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}1\\ 2,5 \\7\end{array}\right)\)
    Du weißt nicht mehr, wie es geht? Dann schau hier.
  4.  

Vektoren, Variante (1) - Abbildung 1

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  • Schwierigkeitsgrad:  1
  • Zeit:  15 Minuten
  • Punkte:  10

Aufgabe 2

Gegeben sind die Vektoren \(\overrightarrow{a}=\left(\begin{array}{c}2\\ 4 \\0\end{array}\right)\), \(\overrightarrow{b}=\left(\begin{array}{c}1\\ -2 \\3\end{array}\right)\) und \(\overrightarrow{c}=\left(\begin{array}{c}3\\ 0 \\1\end{array}\right)\).

  1. Bestimme die Koordinaten der Vektoren \(\overrightarrow{d}=\overrightarrow{a}+\overrightarrow{c}\) und \(\overrightarrow{e}=\overrightarrow{b}-\overrightarrow{c}\) und stelle die Rechnung zeichnerisch in einem Koordinatensystem dar.
  2. Bestimme die Koordinaten der Vektoren \(\overrightarrow{f}=3\cdot\overrightarrow{a}-2\cdot\overrightarrow{c}\) und \(\overrightarrow{g} = \overrightarrow{a} + 4\cdot \overrightarrow{b}-3\cdot \overrightarrow{c}\).

Lösung

a)

\(\overrightarrow{d}=\overrightarrow{a}+\overrightarrow{c}\)\(=\left(\begin{array}{c}5\\ 4 \\1\end{array}\right)\)

Vektoren, Variante (1) - Abbildung 2

\(\overrightarrow{e}=\overrightarrow{b}-\overrightarrow{c}\)\(=\left(\begin{array}{c}-2\\ -2 \\2\end{array}\right)\)

Vektoren, Variante (1) - Abbildung 3

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b)

\(\overrightarrow{f}=\left(\begin{array}{c}0\\ 12 \\ -2\end{array}\right)\) und  \(\overrightarrow{g}=\left(\begin{array}{c}-3\\ -4 \\ 9\end{array}\right)\)

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  • Schwierigkeitsgrad:  1 2
  • Zeit:  12 Minuten
  • Punkte:  8

Aufgabe 3

Prüfe, ob die beiden Vektoren \(\overrightarrow{u}=\left(\begin{array}{c}7\\ -5 \\ 3\end{array}\right)\) und  \(\overrightarrow{v}=\left(\begin{array}{c}-16,8\\ 12 \\ -7,2\end{array}\right)\) kollinear sind.

Lösung

\(\overrightarrow{v}=-2,4\cdot \overrightarrow{u}\)

Die Vektoren sind kollinear.

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  • Schwierigkeitsgrad:  2
  • Zeit:  6 Minuten
  • Punkte:  3

Aufgabe 4

Gegeben sind die Vektoren \(\overrightarrow{a}=\left(\begin{array}{c}2,5\\ 1,5 \\2\end{array}\right)\), \(\overrightarrow{b}=\left(\begin{array}{c}-2\\ 2 \\1\end{array}\right)\) und \(\overrightarrow{c}=\left(\begin{array}{c}1\\ 1 \\1\end{array}\right)\).

  1. Prüfe, ob die Vektoren \(\overrightarrow{a}\) und \(\overrightarrow{b}\) senkrecht aufeinanderstehen.
  2. Bestimme den Winkel, den die Vektoren \(\overrightarrow{b}\) und \(\overrightarrow{c}\) einschließen.

Lösung

a)

\(\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}=\) \(\left(\begin{array}{c}2,5\\ 1,5 \\2\end{array}\right) \cdot \left(\begin{array}{c}-2\\ 2 \\1\end{array}\right)=-5+3+2=0\)

Die Vektoren stehen senkrecht aufeinander.

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 b)

\(cos( \alpha)=\frac{\overrightarrow{b}\ \circ\ \overrightarrow{c}}{|\overrightarrow{b}|\ \cdot\ |\overrightarrow{c}|} \)

\(cos \alpha=\frac{1}{\sqrt{9}\ \cdot\ \sqrt{3}} \)

\( \alpha=cos^{-1}(0,192)=78,9^°\)

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  • Schwierigkeitsgrad:  2
  • Zeit:  7 Minuten
  • Punkte:  6

Aufgabe 5

Bestimme die Werte für a und b so, dass die Geraden g und h parallel sind.

\(g: \overrightarrow {X} = \left(\begin{array}{c}2\\-1\\ 3\end{array}\right) + t \cdot \left(\begin{array}{c}2\\4\\ 2,5\end{array}\right)\)

\(h: \overrightarrow {X} = \left(\begin{array}{c}-1\\7\\ 2\end{array}\right) + s \cdot \left(\begin{array}{c}3\\a\\ b\end{array}\right)\)

Lösung

\(a= 6\), \(b= 3,75\)

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  • Schwierigkeitsgrad:  3
  • Zeit:  5 Minuten
  • Punkte:  3
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