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Dreieckskonstruktionen (3)


Aufgabe 1

Konstruiere ein gleichschenkliges Dreieck mit Basis \(c=4\ cm\) und \(\alpha=70^°\).

Lösung

Da \(\alpha\) und \(\beta\) Basiswinkel sind, ist auch \(\beta=70^°\).

Dreieckskonstruktionen (3) - Abbildung 1

Du weißt nicht mehr, wie das geht? Dann schau hier.

  • Schwierigkeitsgrad:  1
  • Zeit:  5 Minuten
  • Punkte:  3

Aufgabe 2

Berechne alle Winkel, wenn \(\gamma_2=2\alpha\) gilt.

Dreieckskonstruktionen (3) - Abbildung 2

Lösung

1. Stelle Gleichungen auf und löse sie nach \(\alpha\) auf

Da das Dreieck AMC gleichschenklig mit Basis AC ist, gilt:

\(\gamma_1=\alpha\)

Nach dem Satz des Thales ist \(\gamma_1+\gamma_2=90^°\). Damit gilt mit \(\gamma_2=2\alpha\):

\(3\alpha=90^°\), also:

\(\alpha=30^°\)

2. Berechne die übrigen Winkel

Damit ist:

\(\gamma_1=30^°\)

\(\delta=180^°-30^°-30^°=120^°\)

\(\beta=\gamma_2=60^°\)

\(\epsilon=180^°-120^°=60^°\)

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  • Schwierigkeitsgrad:  2
  • Zeit:  8 Minuten
  • Punkte:  5

Aufgabe 3

Gegeben ist M(5|4) und P(0|0). Konstruiere die Tangenten durch P an den Kreis um M mit Radius 3 cm.

Lösung

Dreieckskonstruktionen (3) - Abbildung 3

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  • Schwierigkeitsgrad:  1
  • Zeit:  8 Minuten
  • Punkte:  6

Aufgabe 4

Konstruiere ein Dreieck mit \(\alpha=34^°\), \(h_b=3,6\ cm\) und \(w_\beta=3,8\ cm\). Erstelle davor eine Planfigur und einen Konstruktionsplan. Erkläre gegebenenfalls, warum die Lösung nicht eindeutig ist.

Lösung

1. Planfigur

Dreieckskonstruktionen (3) - Abbildung 4

2. Konstruktionsplan

  1. Ich zeichne die beiden freien Schenkel beim Punkt A mit \(\alpha=34^°\). Auf der unteren Halbgeraden liegt B und auf der oberen C.
  2. Ich zeichne eine Parallele zur oberen Halbgeraden im Abstand 3,6 cm, die die untere Halbgerade im Punkt B schneidet.
  3. Ich zeichne einen Kreis um B mit Radius 3,8 cm. Dort, wo der Kreis die obere Halbgerade schneidet, liegt der Hilfspunkt W. Damit kann ich die Winkelhalbierende \(w_\beta\) einzeichnen.
  4. Ich übertrage den Winkel \(\sphericalangle WBA\) beim Punkt B an die Strecke WB.
  5. C liegt auf dem freien Schenkel dieses Winkels und der Halbgeraden [AW.

3. Konstruktion

Dreieckskonstruktionen (3) - Abbildung 5

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4. Eindeutigkeit

Die Lösung ist nicht eindeutig, da der Kreis um B mit Radius 3,8 cm die Halbgerade [AC zweimal schneidet.

  • Schwierigkeitsgrad:  2
  • Zeit:  14 Minuten
  • Punkte:  10

Aufgabe 5

Beweise: Wenn in einem Viereck zwei gegenüberliegende Winkel rechte Winkel sind, dann besitzt das Viereck einen Umkreis.

 - Abbildung 1

Lösung

Zeichnet man die Diagonale des Vierecks ein, die die beiden Punkte verbindet, bei denen nicht unbedingt rechte Winkel liegen, erhält man zwei rechtwinklige Dreiecke. Nach dem Umkehrsatz des Satzes von Thales liegen nun die beiden Punkte mit rechtem Winkel auf einem Kreis, dessen Mittelpunkt der Mittelpunkt der Diagonale ist. Die beiden Endpunkte der Diagonale liegen natürlich auch auf diesem Kreis. Damit liegen alle Eckpunkte auf einem Kreis, dem Umkreis des Vierecks.

  • Schwierigkeitsgrad:  3
  • Zeit:  5 Minuten
  • Punkte:  3

Aufgabe 6

Konstruiere \(h_a\) und \(h_b\).

Dreieckskonstruktionen (3) - Abbildung 6

Lösung

Dreieckskonstruktionen (3) - Abbildung 7

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  • Schwierigkeitsgrad:  1
  • Zeit:  5 Minuten
  • Punkte:  3
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