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Bernoulli-Ketten und Binomialverteilung (GTR) (2)


Aufgabe 1

Eine Münze wird fünfmal hintereinander geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass

  1. genau dreimal Zahl fällt?
  2. mindestens dreimal Zahl fällt?
  3. höchstens dreimal Zahl fällt?

Lösung

Da alle Versuche gleich wahrscheinlich und damit unabhängig sind, liegt eine Bernoulli-Kette vor. Die Wahrscheinlichkeit für Zahl ist \(p = 0,5\) und die Anzahl der Würfe ist \(n = 5\).

a) \(P(X=3)=0,3125\)

b) \(P(X\geq3)=0,5\)

c) \(P(X\leq3)=0,8125\)

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  • Schwierigkeitsgrad:  1
  • Zeit:  6 Minuten
  • Punkte:  6

Aufgabe 2

In deinem Mathekurs sind derzeit 28 Schülerinnen und Schüler. Wir nehmen an, dass jeder Tag der Woche gleich wahrscheinlich als Geburtstag infrage kommt.

a) Von wie vielen „Sonntagskindern“ in deinem Mathekurs kannst du ausgehen?

b) Bestimme die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Anzahl der „Sonntagskinder“ in deinem Kurs um maximal 2 vom Erwartungswert abweicht.

Lösung

Die Anzahl der Sonntagskinder ist das Ergebnis X. Dann sind die Parameter \(n = 28\) und \(p=\frac{1}{7}\).

a) Da wir davon ausgehen, dass alle Tage gleich wahrscheinlich sind (das ist in der Realität nicht ganz so), müssen wir mit 4 Sonntagskindern in deinem Kurs rechnen. 

b) Der Erwartungswert ist dann:

\(n\cdot p=28\cdot \frac{1}{7}=4\) 

Dann gilt für die Wahrscheinlichkeit:

\(P(2\leq X\leq 6)=P(X\leq6)-P(X\leq1)=0,8301\approx83\ \%\)

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  • Schwierigkeitsgrad:  2
  • Zeit:  5 Minuten
  • Punkte:  5

Aufgabe 3

Zu den folgenden Zufallsversuchen sollst du jeweils eine binomialverteilte Zufallsgröße beschreiben und die passenden Parameter dazu angeben.

a) In einer Urne liegen 10 Kugeln mit den Ziffern 0 bis 9. Es sollen Kugeln gezogen werden.

b) Eine Münze wird mehrfach geworfen.

c) Beim Basketball werden Freiwürfe trainiert.

Lösung

Für die Parameter gilt: \(n\) ist die Länge der Bernoulli-Kette (Anzahl der Versuche) und \(p\) ist die Wahrscheinlichkeit für einen Treffer.

a) Wie groß ist die Anzahl der ungeraden Kugeln, wenn ich zehnmal ziehe? Das Ziehen muss mit Zurücklegen erfolgen. Dann sind \(n = 10\) und \(p = 0,5\).

b) Man wirft eine Münze fünfmal, wie oft fällt Zahl? Die Parameter sind dann \(n = 5\) und \(p = 0,5\).

c) Die Anzahl der getroffenen Freiwürfe bei 20 Versuchen. Für den Parameter \(n\) gilt dann \(n = 20\) und \(p\) ist abhängig von der Wurfstärke der Spielerin bzw. des Spielers.

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  • Schwierigkeitsgrad:  1
  • Zeit:  7 Minuten
  • Punkte:  6

Aufgabe 4

Vor der Einführung eines neuen Medikaments hat man in klinischen Versuchen festgestellt, dass es bei 95 % der behandelten Patienten positiv wirkt. Bei 5 % der behandelten Patienten traten Nebenwirkungen auf. Nun wurden 200 erkrankte Personen mit diesem Medikament behandelt.

a) Mit wie vielen Personen ist zu rechnen, bei denen das Medikament zur Heilung führt?

b) Mit welcher Wahrscheinlichkeit wirkt das Medikament bei mindestens 180 und höchstens 190 Patienten?

c) Bestimme die Wahrscheinlichkeit dafür, dass bei 15 Personen Nebenwirkungen auftreten.

Lösung

Die erfolgreich behandelten Personen sind X, die mit Nebenwirkungen Y. Es liegt ein binomialverteilter Zufallsversuch vor.

a) Der Erwartungswert wird bei 190 erfolgreich behandelten Personen liegen. Die folgende Berechnung zeigt das auch:

\(E(X)=n\cdot p=200\cdot0,95=190\)

b) Da eine Bernoulli-Kette vorliegt, gilt hier der folgende Ansatz mit Rechnung:

\(P(180\leq X\leq190)=P(X\leq 190)-P(X\leq179)=0,5441\approx54,41\ \%\)

c) Auch hier rechnen wir mit einer Binomialverteilung.

\(P(Y\geq15)=1-P(Y\leq14)=0,0781\approx7,81\ \%\)

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  • Schwierigkeitsgrad:  2 3
  • Zeit:  12 Minuten
  • Punkte:  8

Aufgabe 5

Zecken sind Überträger gefährlicher Krankheiten wie Borreliose. In einem Gebiet beträgt das Infektionsrisiko 2 %. Dein Hund fängt sich beim Spaziergang 10 Zecken ein.

a) Wie wahrscheinlich ist es, dass er sich infiziert hat?

b) Ermittle, was bei einer Verdopplung bzw. Halbierung des Infektionsrisikos passiert.

c) Stelle eine Funktion \(f(p)\) auf, die zum Infektionsrisiko \(p\) die Wahrscheinlichkeit angibt, mit der sich der Hund infiziert. Zeichne den Graphen für \(0\leq p\leq0,25\).

Lösung

Mit X ist die Anzahl der Infektionen gemeint und die Parameter betragen \(n = 10\) und \(p = 0,02\).

a) \(P(X\geq1)=1-P(X=0)=0,1829\approx18,29\ \%\)

b) Verdopplung bedeutet \(p = 0,04\)\(P(X\geq1)=0,3352\approx33,52\ \%\)

Halbierung bedeutet \(p = 0,01\)\(P(X\geq1)=0,0956\approx9,56\ \%\)

c) Für die Funktion gilt die Gleichung \(f(p)=1-(1-p)^{10}\).

Bernoulli-Ketten und Binomialverteilung (GTR) (2) - Abbildung 1

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  • Schwierigkeitsgrad:  2 3
  • Zeit:  15 Minuten
  • Punkte:  8
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