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Ähnlichkeit und Strahlensatz (2)


Aufgabe 1

Die Punkte A'(5,5|0) und B'(1,5|4) sind durch zentrische Streckung aus den Punkten A(–0,5|1,5) und B(1,5|0,5) entstanden.

  1. Zeichne die Punkte A, B, A', B' in das Koordinatensystem ein.
  2. Bestimme das Streckzentrum Z.
  3. Bestimme den Streckfaktor k.

Aufgabe 1a.

Zeichne die Punkte A, B, A', B' in das Koordinatensystem ein.

Schritt 1: Punkte in das Koordinatensystem eintragen

Ähnlichkeit und Strahlensatz (2) - Abbildung 1

Aufgabe 1b.

Bestimme das Streckzentrum Z.

Schritt 1: Vorüberlegung

Das Streckzentrum Z ist der Schnittpunkt der beiden Halbgeraden durch die Punkte A und B und Z bzw. A' und B' und Z.

Zeichne eine Gerade durch die Punkte A und A' und zeichne anschließend eine Gerade durch die Punkte B und B'. Der Schnittpunkt dieser Geraden ist das Streckzentrum Z.

Schritt 2: Streckzentrum bestimmen

Ähnlichkeit und Strahlensatz (2) - Abbildung 2

Aufgabe 1c.

Bestimme den Streckfaktor k.

Schritt 1: Vorüberlegung

Der Streckfaktor k wird durch das Längenverhältnis der Strecken \(\overline{ZA}\) und \(\overline{ZA'}\) bzw. \(\overline{ZB}\) und \(\overline{ZB'}\) bestimmt.

Schritt 2: Streckfaktor bestimmen

\(\frac{\overline{ZA'}}{\overline{ZA}} = \frac{\overline{ZB'}}{\overline{ZB}} =4\)

  • Schwierigkeitsgrad:  1
  • Zeit:  9 Minuten
  • Punkte:  4

Aufgabe 2

Von den Längen r, s, t, u, v, w sind immer vier gegeben. Fülle die fehlenden Felder in der folgenden Tabelle aus.

  r s t u v w
a.
7,2 m
 
4,8 m
1,6 m
2,4 m
 
b.
4,2 mm
6,3 mm
2,3 mm
   
5,4 mm

Aufgabe 2a.

 

r s t u v w
a. 7,2 cm      4,8 cm 1,6 cm 2,4 cm     

Schritt 1: Vorüberlegung

Um die Länge s zu berechnen, brauchst du die Längen r, t und u. Verwende die Erweiterung des 1. Strahlensatzes.

Um die Länge w zu berechnen, brauchst du die Längen t, u und v. Verwende den 2. Strahlensatz.

Schritt 2: Längen bestimmen

\(\frac{s}{r}= \frac{u}{t} \Rightarrow \frac{s}{7,2\ m}= \frac{1,6\ m}{4,8\ m}\)

\( \Rightarrow s= \frac{1,6\ m}{4,8\ m} \cdot 7,2\ m= 2,4\ m\)

\(\frac{w}{v}= \frac{u\ +\ t}{t} \Rightarrow \frac{w}{2,4\ m}= \frac{1,6\ +\ 4,8\ m}{4,8\ m}\)

\(\Rightarrow \frac{w}{2,4\ m}= \frac{6,4\ m}{4,8\ m} \Rightarrow w= \frac{6,4\ m}{4,8\ m} \cdot 2,4\ m= 3,2\ m\)

Aufgabe 2b.

  r s t u v w
b. 4,2 mm 6,3 mm 2,3 mm           5,4 mm

Schritt 1: Vorüberlegung

Um die Länge u zu berechnen, brauchst du die Längen r, s und t. Verwende die Erweiterung des 1. Strahlensatzes.

Um die Länge v zu berechnen, brauchst du die Längen t, u und w. Verwende den 2. Strahlensatz.

Schritt 2: Längen bestimmen

\(\frac{u}{t}= \frac{s}{r} \Rightarrow \frac{u}{2,3\ mm}= \frac{6,3\ mm}{4,2\ mm}\)

\( \Rightarrow u= \frac{6,3\ mm}{4,2\ mm} \cdot 2,3\ mm= 3,45\ mm\)

\(\frac{v}{w}= \frac{r}{r\ +\ s} \Rightarrow \frac{v}{5,4\ mm}= \frac{4,2\ mm}{4,2\ mm\ +\ 6,3\ mm}\)

\(\Rightarrow \frac{v}{5,4\ mm}= \frac{4,2\ mm}{10,5\ mm} \Rightarrow v= \frac{4,2\ mm}{10,5\ mm} \cdot 5,4\ mm= 2,16\ mm\)

  • Schwierigkeitsgrad:  1
  • Zeit:  9 Minuten
  • Punkte:  6

Aufgabe 3

Sind die Strecken f und g zueinander parallel? Begründe deine Antwort!

Schritt 1: Vorüberlegung

Du musst die Umkehrung des 1. Strahlensatzes anwenden. Sind die Längenverhältnisse gleich groß, dann sind die Geraden f und g parallel.

Schritt 2: Nachweis

\(\frac{5,1\ m}{20,4\ m}=0,25\) und \(\frac{4,7\ m}{18,8\ m}=0,25\)

Damit sind die Geraden f und g parallel.

  • Schwierigkeitsgrad:  1 2
  • Zeit:  5 Minuten
  • Punkte:  3

Aufgabe 4

Die Punkte A und B liegen am Ufer eines kleinen Sees. Im Gelände wurden verschiedene Messungen durchgeführt. Berechne den Abstand zwischen A und B.

Schritt 1: Vorüberlegungen

Die Skizze zeigt eine Strahlensatzfigur, die mit dem 2. Strahlensatz für sich schneidende Geraden gelöst werden kann.

Schritt 2: Abstandsberechnung

\(\frac{\overline{AB}}{122\ m}=\frac{250\ m}{100\ m} \Rightarrow \overline{AB} =\frac{250\ m}{100\ m} \cdot 122\ m=305\ m\)

Schritt 3:Antwortsatz

Die Punkte A und B haben einen Abstand von 305 Metern.

  • Schwierigkeitsgrad:  2
  • Zeit:  6 Minuten
  • Punkte:  3

Aufgabe 5

Eine Dachkonstruktion besteht aus 20 cm starken Holzbalken. Zwischen allen senkrechten Balken ist der Abstand 60 cm. Der letzte Stützbalken hat außen eine Länge von 2,40 m. Berechne das Innenmaß a und das Außenmaß b des zweiten Stützbalkens.

Schritt 1: Vorüberlegung

Die Dachkonstruktion entspricht einer Strahlensatzfigur. Du musst jedoch die Kanten auswählen, die eine Berechnung des Innenmaßes und des Außenmaßes zulassen.

Innenmaß

Ähnlichkeit und Strahlensatz (2) - Abbildung 3

Außenmaß

Ähnlichkeit und Strahlensatz (2) - Abbildung 4

Schritt 2: Berechnung des Innenmaßes

\(\frac{a}{2,4\ m}= \frac{0,6\ m\ +\ 0,2\ m\ +\ 0,6\ m}{0,6\ m\ +\ 0,2\ m\ +\ 0,6\ m\ +\ 0,2\ m\ +\ 0,6\ m\ +\ 0,2\ m\ +\ 0,6\ m\ +\ 0,2\ m} \Rightarrow \frac{a}{2,4\ m}=\frac{1,4}{3,2\ m}\)

\( \Rightarrow a=\frac{1,4\ m}{3,2\ m} \cdot 2,4\ m=1,05\ m\)

Schritt 2: Berechnung des Außenmaßes

\(\frac{b}{2,4\ m}= \frac{0,6\ m\ +\ 0,2\ m\ +\ 0,6\ m\ +\ 0,2\ m}{0,6\ m\ +\ 0,2\ m\ +\ 0,6\ m\ +\ 0,2\ m\ +\ 0,6\ m\ +\ 0,2\ m\ +\ 0,6\ m\ +\ 0,2\ m} \Rightarrow \frac{b}{2,4\ m}=\frac{1,6}{3,2\ m}\)

\( \Rightarrow b=\frac{1,6\ m}{3,2\ m} \cdot 2,4\ m=1,2\ m\)

Schritt 3: Antwortsatz

Das Innenmaß des zweiten Stützbalkens ist 1,05 Meter. Das Außenmaß ist 1,2 Meter.

  • Schwierigkeitsgrad:  2
  • Zeit:  7 Minuten
  • Punkte:  3

Aufgabe 6

Ein gleichmäßig ansteigender Weg führt von der Hauptstraße zu einem Hotel. Auf dem Weg zum Hotel liegt ein Parkplatz, der genau 112 m vom Hotel entfernt ist. Die Straße steigt bis zum Parkplatz um 5 m, bis zum Hotel um weitere 7 m an.

  1. Fertige eine Skizze an, die alle Längenangaben enthält.
  2. Wie weit ist der Parkplatz von der Hauptstraße entfernt?

Aufgabe 6a.

Fertige eine Skizze an, die alle Längenangaben enthält.

Schritt 1: Skizze

Ähnlichkeit und Strahlensatz (2) - Abbildung 5

Aufgabe 1b.

Wie weit ist der Parkplatz von der Hauptstraße entfernt?

Schritt 1: Vorüberlegung

Die Skizze zeigt eine Strahlensatzfigur. Wenn du die gegebenen Längen betrachtest, erkennst du, dass du den 2. Strahlensatz verwenden musst.

Schritt 2: Berechnung der Entfernung von der Hauptstraße zum Parkplatz

\(\frac{x}{x\ +\ 112\ m}=\frac{5\ m}{12\ m} \Rightarrow x=\frac{5}{12} \cdot(x+112\ m) \Rightarrow x=\frac{5}{12} \cdot x+46,67\ m\)

\(\Rightarrow \frac{7}{12} \cdot x=46,67\ m \Rightarrow x=80\ m\)

Schritt 3: Antwortsatz

Der Parkplatz ist 80 m von der Hauptstraße entfernt.

  • Schwierigkeitsgrad:  2 3
  • Zeit:  9 Minuten
  • Punkte:  5
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