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Bernoulli-Ketten und Binomialverteilung (GTR) (1)


Aufgabe 1

Bestimme die Binomialkoeffizienten \(\left(\begin{array}{c}3\\ 1\end{array}\right)\)\(\left(\begin{array}{c}6\\ 4\end{array}\right)\) und \(\left(\begin{array}{c}5\\ 5\end{array}\right)\).

Zeige, dass \(\left(\begin{array}{c}4\\ 1\end{array}\right) = \left(\begin{array}{c}4\\ 3\end{array}\right)\).

  • Schwierigkeitsgrad:  1
  • Zeit:  5 Minuten
  • Punkte:  5

Aufgabe 2

Bestimme die folgenden Wahrscheinlichkeiten zu einer binomialverteilten Zufallsgröße X mit den Parametern \(n = 15\) und \(p = 0,2\).

a) \(P(X=4)\)

b) \(P(X\leq 4)\)

c) \(P(X\geq4)\)

  • Schwierigkeitsgrad:  1
  • Zeit:  5 Minuten
  • Punkte:  4

Aufgabe 3

In einer Urne liegen 3 schwarze und 3 weiße Kugeln. Es wird dreimal gezogen.

a) Wie muss man ziehen, damit das Zufallsexperiment einer Bernoulli-Kette entspricht?

b) Wie groß ist der Erwartungswert für die Anzahl der schwarzen Kugeln?

  • Schwierigkeitsgrad:  2
  • Zeit:  10 Minuten
  • Punkte:  10

Aufgabe 4

Eine Umfrage des Verlags hat ergeben, dass 15 % aller Befragten eine verlagseigene Zeitschrift abonniert haben.

Zur Kontrolle befragt ihr 20 beliebige Personen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass von diesen 20 befragten Personen

a) höchstens 5 eine Zeitschrift des Verlags abonniert haben?

b) mindestens 3 eine Zeitschrift des Verlags lesen?

c) weniger als 3 oder mehr als 5 eine Zeitschrift des Verlags abonniert haben? 

  • Schwierigkeitsgrad:  2 3
  • Zeit:  15 Minuten
  • Punkte:  10

Aufgabe 5

Eine Zufallsgröße X ist binomialverteilt und hat die Parameter \(n\) für die Anzahl und \(p\) für die Wahrscheinlichkeit des Einzelereignisses.

Bestimme jeweils den Erwartungswert und die entsprechende Wahrscheinlichkeit.

a) \(n = 20\) und \(p = 0,3\)

b) \(n = 15\) und \(p = 0,4\)

c) \(n = 69\) und \(p = 0,9\)

  • Schwierigkeitsgrad:  1
  • Zeit:  10 Minuten
  • Punkte:  6
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