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Wie du Rechenregeln für Logarithmen anwendest


Schritt-für-Schritt-Anleitung

Wie du Rechenregeln für Logarithmen anwendest

Aufgabe

Vereinfache die folgenden Logarithmusterme mithilfe der Logarithmusgesetze

  1. \(\log_2(a^3+2a^2b+ab^2)-2\log_2(a+b)\)
  2. \(\left( \frac 1 2 \right) \log_c b+ \log_c\sqrt b\)
  3. \(\frac{x^2-3\log_a \sqrt[3]{a} }{x-1}\)

Schritt 1: Umformungsregeln anwenden

Es gibt vier Logarithmusgesetze, die du für solche Aufgaben brauchst:

\(\begin{align*} 1.\quad&\log_a(u\cdot v)=\log_a(u)+\log_a(v)\\ 2.\quad&\log_a\left(\frac{u}{v}\right)=\log_a(u)-\log_a(v)\\ 3.\quad&\log_a\left(u^v\right)=v\cdot\log_a(u)\\ 4.\quad&\log_a(a)=1 \end{align*}\)

Diese kannst du dir wie folgt merken:

Beim Logarithmieren verwandelt sich mal in plus und geteilt in minus. Exponenten können als Faktor vor den Logarithmus gezogen werden. Das vierte Gesetz folgt unmittelbar aus der Definition des Logarithmus: \(\log_a(a)=1\) heißt nichts anderes als \(a^1=a\).

Bemerkung:

Die Nummerierung dieser Gesetze ist nicht Standard; sie soll hier nur der Übersichtlichkeit dienen.

a)

Den Term in Teilaufgabe a) kannst du wie folgt vereinfachen:

\(\begin{align*} &\log_2(a^3+2a^2b+ab^2)-2\log_2(a+b)&&|\,a\text{ ausklammern}\\ =\,&\log_2\left(a\cdot(a^2+2ab+b^2)\right)-2\log_2(a+b)&&|\text{ 1. Logarithmusgesetz anwenden}\\ =\,&\log_2(a)+\log_2\left(a^2+2ab+b^2\right)-2\log_2(a+b)&&|\text{ 1. binomische Formel anwenden}\\ =\,&\log_2(a)+\log_2\left((a+b)^2\right)-2\log_2(a+b)&&|\text{ 3. Logarithmusgesetz anwenden}\\ =\,&\log_2(a)+2\cdot\log_2(a+b)-2\log_2(a+b)&&|\text{ zusammenfassen}\\ =\,&\log_2(a) \end{align*}\)

Lösung

\(\log_2(a^3+2a^2b+ab^2)-2\log_2(a+b)=\log_2(a)\)

b)

Den Term in Teilaufgabe b) kannst du wie folgt vereinfachen:

\(\begin{align*} &\frac 1 2 \log_c b+ \log_c\sqrt b &&|\,\text{Wurzel als Potenz schreiben}\\ =\,&\frac 1 2 \log_c b+ \log_c\left(b^{\frac{1}{2}}\right)&&|\text{ 3. Logarithmusgesetz anwenden}\\ =\,&\frac 1 2 \log_c b+\frac{1}{2}\cdot\log_c(b)&&|\text{ zusammenfassen}\\ =\,&\log_c b \end{align*}\)

Lösung

\(\frac 1 2 \log_c b+ \log_c\sqrt b=\log_c b\)

c)

Den Term in Teilaufgabe c) kannst du wie folgt vereinfachen:

\(\begin{align*} &\frac{x^2-3\log_a \sqrt[3]{a} }{x-1}&&|\,\text{Wurzel als Potenz schreiben}\\ =\,&\frac{x^2-3\log_a\left(a^{\frac 1 3}\right)}{x-1}&&|\text{ 3. Logarithmusgesetz anwenden}\\ =\,&\frac{x^2-3\cdot\frac 1 3\log_a(a)}{x-1}&&|\text{ 4. Logarithmusgesetz anwenden}\\ =\,&\frac{x^2-3\cdot\frac 1 3\cdot 1}{x-1}&&|\text{ zusammenfassen}\\ =\,&\frac{x^2-1}{x-1}&&|\text{ 3. binomische Formel anwenden}\\ =\,&\frac{(x+1)(x-1)}{x-1}&&|\text{ kürzen}\\ =\,&x+1 \end{align*}\)

Lösung

\(\frac{x^2-3\log_a \sqrt[3]{a} }{x-1}=x+1\)

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