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Wie du fehlende Teile von Dreiecken mithilfe des Sinussatzes berechnest


Schritt-für-Schritt-Anleitung

Wie du fehlende Teile von Dreiecken mithilfe des Sinussatzes berechnest

Aufgabe

Gegeben ist ein Dreieck ABC mit \(\text{b} =9,9\ cm\), \(\text{c} = 8,2\ cm\) und \(\gamma=45,1^°\).  Bestimme, falls möglich, fehlende Größen des Dreiecks mithilfe des Sinussatzes.

Schritt 1: Erstelle eine Planfigur des Dreiecks

Bei einer geometrischen Aufgabe wie dieser gehört es dazu, zu Beginn eine Planfigur des gegebenen Dreiecks zu erstellen. Damit hast du stets einen Überblick darüber, welche Größen bereits bekannt sind und welche du noch berechnen musst. Außerdem kannst du dich immer wieder vergewissern, welche Seiten und Winkel sich gegenüberliegen und daher für die Anwendung des Sinussatzes gebraucht werden. Achte darauf, dass du bei beliebigen Dreiecken als Planfigur kein rechtwinkliges Dreieck zeichnest. Das könnte dich dazu verleiten, Sätze und Rechenregeln für rechtwinklige Dreiecke zu benutzen, die aber im Allgemeinen nicht gelten. Für diese Aufgabe kann die Planfigur zum Beispiel so aussehen:

Wie du fehlende Teile von Dreiecken mithilfe des Sinussatzes berechnest - Abbildung 1

Schritt 2: Markiere gegebene Größen

Damit du einen Überblick darüber hast, welche Größen du in deinem Dreieck bereits kennst, solltest du zu Beginn gegebene und im Laufe der Aufgabe berechnete Seiten und Winkel markieren. Das kannst du z. B. tun, indem du sie farbig nachzeichnest. Bei dieser Aufgabe hast du drei Größen vorgegeben: zwei Seiten, b und c, und einen Winkel, \(\gamma\).

Wie du fehlende Teile von Dreiecken mithilfe des Sinussatzes berechnest - Abbildung 2

Schritt 3: Setze gegebene Werte in den Sinussatz ein und rechne aus

Der Sinussatz gilt für beliebige Dreiecke. Er besagt, dass das Verhältnis zweier Seitenlängen dem Verhältnis der Sinuswerte der den Seiten gegenüberliegenden Winkeln entspricht. Es gelten also folgende Gleichungen:

\(\frac{\sin(\alpha)}{\sin(\beta)}=\frac{\mbox{a}}{\mbox{b}}\)

\(\frac{\sin(\alpha)}{\sin(\gamma)}=\frac{\mbox{a}}{\mbox{c}}\)

\(\frac{\sin(\beta)}{\sin(\gamma)}=\frac{\mbox{b}}{\mbox{c}}\)

Mithilfe dieser Gleichungen kann eine noch unbekannte Größe des Dreiecks berechnet werden, wenn drei andere Größen bekannt sind, darunter eine Seite und der dieser Seite gegenüberliegende Winkel. Da bei dieser Aufgabe die Seite c und der Winkel \(\gamma\) gegeben sind, kann der Sinussatz auf jeden Fall angewendet werden. Die dritte bekannte Größe ist die Seite b, daher musst du den Sinussatz in der Form

\(\frac{\sin(\beta)}{\sin(\gamma)}=\frac{\mbox{b}}{\mbox{c}}\)

verwenden und kannst \(\beta\) berechnen. Du kannst deine Gleichung schon umstellen und nach \(\sin(\beta)\) auflösen, bevor du die Werte einsetzt.

\(\sin(\beta)=\frac{\mbox{b}}{\mbox{c}}\cdot\sin(\gamma)\)

Wenn du nun b, c und \(\gamma\) einsetzt, erhältst du:

\(\sin(\beta)=\frac{9,9}{8,2}\cdot\sin(45,1°)\approx0,85519\)

Behalte falls möglich immer ungerundete Ergebnisse im Taschenrechner und rechne mit ihnen weiter, damit du möglichst genaue Werte erhältst. Du musst nun mit dem Taschenrechner die Umkehrfunktion der Sinusfunktion (\(\sin^{-1}\)) anwenden und erhältst:

\(\beta\approx58,78^°\)

Achte darauf, dass die Sinusfunktion keine Werte \(>1\) annehmen kann und die Aufgabe, falls sie zu einer derartigen Aussage führt, nicht lösbar ist.

An dieser Stelle musst du außerdem noch auf eine andere Weise überprüfen, ob deine Lösung auch wirklich zu einem realisierbaren Dreieck führen kann. Es muss nämlich immer gelten, dass von zwei Seiten und den gegenüberliegenden Winkeln die größere Seite dem größeren Winkel gegenüberliegt. Da dein Wert für \(\beta\) größer als der Wert für \(\gamma\) ist, überprüfst du, ob auch \(\text{b}>\text{c}\) gilt.

Dies ist der Fall, daher kannst du unbesorgt weitermachen. Stimmt dieser Zusammenhang einmal nicht, kannst du die Berechnung abbrechen, denn dann ist kein Dreieck mit den gegebenen Größen konstruierbar.

Schritt 4: Bestimme den 3. Winkel

Von deinem Dreieck fehlen dir jetzt noch die Werte für \(\alpha\) und für a. Über die Tatsache, dass die Summe der Winkel in einem Dreieck 180° beträgt, erhälst du \(\alpha\).

\(\alpha+\beta+\gamma=180^°\)

\(\alpha=180^°-\beta-\gamma\)

Einsetzen ergibt:

\(\alpha\approx76,12^°\)

Schritt 5: Setze wieder in den Sinussatz ein und rechne aus

Jetzt fehlt nur noch eine Größe, die Seite a. Zur Berechnung benutzt du wieder den Sinussatz. Du könntest ihn mit den Werten für b und \(\beta\) oder mit den Werten für c und \(\gamma\) anwenden. Es ist immer empfehlenswert, mit möglichst wenigen gerundeten Werten zu rechnen, daher benutze hier am besten den Sinussatz in dieser Form:

\(\frac{\sin(\alpha)}{\sin(\gamma)}=\frac{\mbox{a}}{\mbox{c}}\)

Du suchst a und kannst deine Gleichung wieder vor dem Einsetzen nach a auflösen.

\(\mbox{a}=\frac{\sin(\alpha)}{\sin(\gamma)}\cdot\mbox{c}\)

Einsetzen ergibt:

\(\mbox{a}\approx\frac{\sin(76,12^°)}{\sin(45,1^°)}\cdot 8,2\ cm \approx11,24\ cm\)

An dieser Stelle kannst du wieder überprüfen, ob im Verhältnis zu b und \(\beta\) bzw. c und \(\gamma\) deine berechneten Werte für a und \(\alpha\) beide größer bzw. kleiner sind, damit dein Dreieck konstruierbar ist. Auch dies ist wieder der Fall.

Schritt 6: Prüfe (falls erforderlich), ob mehrere Lösungen möglich sind

Du bist allerdings noch nicht ganz fertig. Denn es kann auch mehrere Lösungen geben, nämlich dann, wenn du auch ein stumpfwinkliges Dreieck konstruieren könntest, also ein Dreieck, bei dem ein Winkel größer ist als 90°. Das könnte dann so aussehen:

Wie du fehlende Teile von Dreiecken mithilfe des Sinussatzes berechnest - Abbildung 3

Um zu überprüfen, ob es eine zweite Lösung gibt, gehst du zurück zur Berechnung deines ersten unbekannten Winkels, \(\beta\). Aufgrund der Symmetrie der Sinusfunktion gibt es nämlich nicht nur einen Winkel, der den dort berechneten Sinuswert 0,85519... hat. Auch der Winkel

\(180^°- \beta \approx 121,22^° = \beta_2\)

hat diesen Sinuswert. Du kannst ihn \(\beta_2\) nennen. Auch \(\beta_2\) erfüllt zusammen mit der Seite b im Vergleich zu c und \(\gamma\), dass die größere Seite dem größeren Winkel gegenüberliegt.

Der Satz über die Innenwinkelsumme im Dreieck liefert dir dann auch eine zweite Möglichkeit für \(\alpha\), die du passend mit \(\alpha_2\) bezeichnen kannst.

\(\alpha_2\approx180^°-\beta_2-\gamma \approx13,68^°\)

Zum Schluss benutzt du wieder den Sinussatz, um die zweite Möglichkeit für a, a2, zu berechnen.

\(\frac{\sin(\alpha_2)}{\sin(\gamma)}=\frac{\mbox{a}_2}{\mbox{c}}\)

Nach a2 auflösen:

\(\text{a}_2=\frac{\sin(\alpha_2)}{\sin(\gamma)}\cdot\mbox{c}\)

Einsetzen ergibt:

\(\text{a}_2\approx\frac{\sin(13,68^°)}{\sin(45,1^°)}\cdot8,2\ cm\approx2,74\ cm\)

Lösung

Es gibt zwei mögliche Dreiecke, die zu den vorgegebenen Größen passen.

Für das erste mögliche Dreieck gilt:
\(\beta\approx58,78^°\), \(\alpha\approx76,12^°\)\(\text{a}\approx11,21\ cm\)

Für das zweite mögliche Dreieck gilt:
\(\beta_2\approx121,22^°\), \(\alpha_2\approx13,68^°\)\(\text{a}_2\approx2,74\ cm\)

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