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Wie du Winkel im Raum berechnest


Aufgabe

Gegeben ist ein Quader mit einer quadratischen Grundfläche.

Welche Weite hat der Winkel, den die Raumdiagonale mit der Grundflächendiagonale einschließt?

Wie du Winkel im Raum berechnest - Abbildung 1

 

Schritt 1: Lösungsstrategie

Wenn du einen Winkel in einer Figur berechnen musst, in der du sonst keine Winkel kennst, dann gibt es nur eine Möglichkeit: Du musst um diesen Winkel ein rechtwinkliges Dreieck basteln und zwei der drei Seitenlängen berechnen. Dann wendest du eine trigonometrische Formel an, um den Winkel zu bestimmen.

In diesem Fall bietet sich folgendes rechtwinklige Dreieck an, das den gesuchten Winkel enthält:

Wie du Winkel im Raum berechnest - Abbildung 2

Die Grundfläche ist waagerecht und die 8 cm lange Seite hinten rechts geht senkrecht nach oben, steht also insbesondere auch senkrecht auf der Bodendiagonalen - daher der rechte Winkel. In diesem roten Dreieck kennen wir im Moment nur eine Seite. Um einen Winkel zu berechnen, brauchen wir mindestens zwei Seitenlängen.

 

Schritt 2: Bodendiagonale berechnen

Die Länge der Bodendiagonale lässt sich mithilfe des Satz des Pythagoras bestimmen:

Wie du Winkel im Raum berechnest - Abbildung 3

Die Bodendiagonale \(d_B\) ist nämlich die Hypotenuse im grünen rechtwinkligen Dreieck, in dem die beiden kürzeren Seiten jeweils 3 cm lang sind (die Grundfläche des Quaders ist ja quadratisch).

Also gilt

\(\begin{align*} d_B^2&=(3\,\text{cm})^2+(3\,\text{cm})^2\\ &=9\,\text{cm}^2+9\,\text{cm}^2\\ &=18\,\text{cm}^2\\ \Longrightarrow d_B&=\sqrt{18\,\text{cm}^2}\\ &=3\sqrt{2}\,\text{cm} \end{align*} \)

 

Schritt 3: Winkel berechnen

Jetzt kennen wir im roten Dreieck alle Größen, um den gesuchten Winkel zu berechnen:

Wie du Winkel im Raum berechnest - Abbildung 4

 

Die Ankathete zum gesuchten Winkel ist \(3\sqrt{2}\,\text{cm}\) lang und die Gegenkathete \(8\text { cm}\). Jetzt kannst du die trigonometrische Formel

\(\tan(\alpha)=\frac{\text{Gegenkathete zu }\alpha}{\text{Ankathete zu }\alpha}\)

benutzen. Einsetzen der inzwischen bekannten Längen liefert

\(\begin{align*} \tan(\alpha)&=\frac{8\,\text{cm}}{3\sqrt{2}\,\text{cm}}\\ &=\frac{4}{3}\sqrt{2}\approx1{,}886\\ \Longrightarrow\alpha\approx62{,}06°. \end{align*} \)

Lösung

Die Raumdiagonale und die Bodendiagonale des Quaders schließen einen Winkel von etwa 62,06° ein.

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