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Wie du überprüfst, ob eine ganzrationale Funktion gerade oder ungerade ist


Aufgabe

Überprüfe, ob die folgenden Funktionen gerade oder ungerade sind:

a) \(f(x) = 5x^4 -6x^2 +8\)

b) \(g(x) = 2x^5 +3x^3 -7x\)

c) \(h(x) = 4x^3 -9x^2 +x\)

Lösungsschritt Teilaufgabe a)

Schritt 1: Betrachte die Hochzahlen

Um zu bestimmen, ob eine ganzrationale Funktion gerade oder ungerade ist, musst du die Hochzahlen der vorkommenden Potenzen betrachten.

\(f(x) = 5x^{\color {red} {4}} - 6x^{\color {red}{2}} + 8\)

Die Hochzahlen 4 und 2 sind beide gerade Zahlen. Wenn alle vorkommenden Hochzahlen gerade Zahlen sind, dann nennt man die Funktion gerade.

f(x) ist also eine gerade Funktion.

Lösungsschritt Teilaufgabe b)

Schritt 1: Betrachte die Hochzahlen

Wieder musst du die Hochzahlen der vorkommenden Potenzen betrachten, um zu entscheiden, ob die Funktion gerade oder ungerade ist.

\(g(x) = 2x^{\color {blue} {5}} + 3x^{\color {blue} {3}} -7x^{\color {turquoise} {1}}\)

Beachte: Wenn x ohne Hochzahl vorkommt, dann fehlt eigentlich die Hochzahl 1.

Alle Hochzahlen dieser Funktion sind also ungerade Zahlen. Wenn in einer Funktion alle Hochzahlen ungerade sind und keine Zahl ohne x vorkommt, dann nennt man diese Funktion ungerade.

g(x) ist also eine ungerade Funktion.

Lösungsschritt Teilaufgabe c)

Schritt 1: Betrachte die Hochzahlen 

Wieder musst du die Hochzahlen der vorkommenden Potenzen betrachten, um festzustellen, ob diese Funktion gerade oder ungerade ist.

\(h(x) = 4x^{\color {blue}{3}} - 9x^{\color {red}{2}}+x^{\color {blue}{1}}\)

Wieder musst du dir bei dem Term x die Hochzahl 1 dazudenken.

In dieser Funktion sind manche Hochzahlen gerade, andere ungerade. Diese Funktion ist daher weder eine gerade noch eine ungerade Funktion. Es gibt dafür übrigens keinen Fachbegriff.

Lösung

Teilaufgabe a): Die Funktion f(x) ist eine gerade Funktion.

Teilaufgabe b): Die Funktion g(x) ist eine ungerade Funktion.

Teilaufgabe c): Die Funktion h(x) ist weder eine gerade noch eine ungerade Funktion.

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