Das kleinste gemeinsame Vielfache, kurz kgV, gibt die kleinste Zahl an, die zwei oder mehrere Zahlen als Vielfaches gemeinsam haben. Der größte gemeinsame Teiler, kurz ggT, gibt dir auf der anderen Seite die größte Zahl an, durch die du zwei oder mehrere Zahlen ohne Rest teilen kannst.
In den Videos wird dir anhand von Beispielen erklärt, wie du das kgV und den ggT findest und mit der Primfaktorzerlegung berechnest. In den interaktiven Übungen kannst du das selbst ausprobieren und die Lösungen abrufen. Weiterhin erfährst du, wozu diese mathematischen Begriffe nützlich sind und wie du sie für mehr als zwei Zahlen berechnest. Schau abschließend auch in die Klassenarbeit.
Es gibt stets unendlich viele Vielfache einer ganzen Zahl.
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Es gibt ganze Zahlen, die keine Vielfache besitzen.
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Eine ganze Zahl k heißt Vielfaches einer ganzen Zahl a, wenn das Produkt von a mit einer weiteren ganzen Zahl b die Zahl k ergibt.
.
Vielfache einer ganzen Zahl sind ganze Zahlen.
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Aufgabe:
Beurteile, ob folgende Aussage wahr oder falsch ist.
Das kleinste gemeinsame Vielfache zweier Zahlen ist die kleinste Zahl, die ein Vielfaches von beiden Zahlen ist.
Wahr
Falsch
Aufgabe:
Ziehe die Felder an die richtige Stelle im Text.
V4={4,8,12,16,20,24,28,32,36,40…} ist die
der Zahl 4. Diejenige der Zahl 5 ist V5={5,10,15,20,25,30,35,40,45,50…}. Die kleinste Zahl, die in beiden Mengen vorkommt, ist die 20. Demnach ist die 20 das
Das kleinste gemeinsame Vielfache von 4 und 8 ist 32, da gilt: 4⋅8=32
Wahr
Falsch
Aufgabe:
Markiere alle zutreffenden Aussagen.
Die Zahl 1 kann niemals kleinstes gemeinsames Vielfaches von zwei verschiedenen Zahlen sein.
.
Zur Bestimmung des kleinsten gemeinsamen Vielfaches zweier Zahlen hilft dir die Primfaktorzerlegung.
.
Es ist auch möglich, das kleinste gemeinsame Vielfache von mehr als nur zwei Zahlen zu bestimmen.
.
Das kleinste gemeinsame Vielfache zweier Zahlen kann auch größer sein als das Produkt dieser beiden Zahlen.
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Aufgabe:
Trage die richtige Zahl in das hervorgehobene Feld ein.
Die Vielfachmengen von 5 und 6 lauten V5={5,10,15,20,25,30,35,40,45…} und V6={6,12,18,24,30,36,42,48,54…}. Das kleinste gemeinsame Vielfache von 5 und 6 ist die .
Aufgabe:
Beurteile, ob folgende Aussage wahr oder falsch ist.
Haben zwei Zahlen keine gemeinsamen Teiler, so ist ihr kleinstes gemeinsames Vielfaches das Produkt aus den beiden Zahlen.
Wahr
Falsch
Wie du das kgV mit der Primfaktorzerlegung bestimmst
Kreuze an, ob die folgende Aussage wahr oder falsch ist.
Zur Bestimmung des kleinsten gemeinsamen Vielfachen (kgV) zweier Zahlen hilft dir die Primfaktorzerlegung.
Wahr
Falsch
Aufgabe:
Ziehe die Begriffe an die richtige Stelle im Text.
Es soll das kleinste gemeinsame Vielfache der Zahlen 12 und 36 bestimmt werden:
Dafür bestimmen wir die
von 12 und 36.
12=2⋅2⋅3
36=2⋅2⋅3⋅3
Nun
wir alle
der beiden Zerlegungen. Alle in beiden Zerlegungen gleichzeitig vorkommenden Primfaktoren berücksichtigen wir nur einmal. Also ist das
von 12 und 36:
kgV(12,36)=2⋅2⋅3⋅3=36
Primfaktorzerlegung
Primfaktoren
kleinste gemeinsame Vielfache
multiplizieren
Aufgabe:
Beurteile, ob diese Aussage stimmt.
Zur Bestimmung des kleinsten gemeinsamen Vielfachen zweier Zahlen werden alle Primfaktoren der beiden Primfaktorzerlegungen miteinander multipliziert. Primfaktoren, die in beiden Primfaktorzerlegungen gleichzeitig vorkommen, werden allerdings nur einmal berücksichtigt.
Bestimme, ob die folgende Aussage wahr oder falsch ist.
Haben zwei Zahlen nur einen gemeinsamen Teiler, so muss dieser auch der größte gemeinsame Teiler sein.
Wahr
Falsch
Aufgabe:
Kreuze die Vorgehensweisen an, die dir bei der Bestimmung des größten gemeinsamen Teilers zweier Zahlen helfen
Teilermenge
.
Kommutativgesetz
.
Primfaktorzerlegung
.
Vielfachmenge
.
Aufgabe:
Entscheide, ob folgender Sachverhalt korrekt ist.
Gegeben sind dir die beiden Teilermengen T12={1,2,3,4,6,12} und T18={1,2,3,6,9,18}. Die Zahl 3 kommt in beiden Teilermengen vor. Daran siehst du, dass der größte gemeinsame Teiler von 12 und 18 die 3 ist.
Wahr
Falsch
Aufgabe:
Markiere im folgenden Satz das Wort, das dort nicht hingehört.
Welche Zahl in der folgenden Liste ist kein größter gemeinsamer Teiler der aufgeführten Beispiele? Markiere diese.
ggT(3;7), ggT(18;27), ggT(12;30), ggT(3;6)
1,2,3,6,9
Correct!
Incorrect!
Missed!
Aufgabe:
Dir ist die Zahl 22 gegeben. Des Weiteren weißt du, dass der größte gemeinsame Teiler von 22 und einer weiteren gesuchten Zahl 11 ist.
Welche der folgenden Zahlen könnten die gesuchte Zahl sein? Kreuze an.
2
.
22
.
44
.
33
.
3
.
11
.
Aufgabe:
Sind zwei Zahlen beide durch 37 teilbar, so ist der größte gemeinsame Teiler der beiden Zahlen größer oder gleich 37.
Wahr
Falsch
Aufgabe:
Kreuze die Aussagen an, die korrekt sind.
Der größte gemeinsame Teiler zweier ungerader Zahlen ist größer oder gleich 3.
.
Der größte gemeinsame Teiler zweier gerader Zahlen ist größer oder gleich 2.
.
Zwei verschiedene Primzahlen haben den größten gemeinsamen Teiler 1.
.
Zwei teilerfremde Zahlen haben den größten gemeinsamen Teiler 1.
.
Aufgabe:
Ermittle die gesuchte Zahl und trag sie in das vorgegebene Feld ein.
Dir ist die Zahl 24 gegeben. Eine zweite Zahl soll von dir bestimmt werden.
Dir ist bekannt, dass der größte gemeinsame Teiler von 24 und der gesuchten Zahl 6 ist. Ebenfalls weißt du, dass die gesuchte Zahl durch 5 teilbar und kleiner als 50 ist.
Dann muss es sich bei der gesuchten Zahl um die handeln.
Trage den richtigen Begriff in das dafür vorgesehene Feld ein.
Sowohl bei der Bestimmung des kleinsten gemeinsamen Vielfachen zweier Zahlen als auch bei der Bestimmung des größten gemeinsamen Teilers kann dir die helfen.
Aufgabe:
Kreuze alle wahren Aussagen an.
Das kleinste gemeinsame Vielfache kannst du bestimmen, indem du die Vielfachmengen der beiden Zahlen bestimmst und die größte Zahl auswählst, die in beiden Mengen vorkommt.
.
Den größten gemeinsamen Teiler zweier Zahlen kannst du bestimmen, indem du die Teilermengen der beiden Zahlen vergleichst und die größte in beiden Mengen vorkommende Zahl auswählst.
.
Den größten gemeinsamen Teiler zweier Zahlen kannst du bestimmen, indem du die Teilermengen der beiden Zahlen vergleichst und die kleinste in beiden Mengen vorkommende Zahl auswählst.
.
Das kleinste gemeinsame Vielfache kannst du bestimmen, indem du die Vielfachmengen der beiden Zahlen bestimmst und die kleinste Zahl auswählst, die in beiden Mengen vorkommt.
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Aufgabe:
Entscheide, ob die beiden folgenden Aussagen korrekt sind.
Das kleinste gemeinsame Vielfache von 3 und 6 ist 6. Der größte gemeinsame Teiler von 3 und 6 ist 3.
Welche Zahl entspricht dem größten gemeinsamen Teiler und welche Zahl dem kleinsten gemeinsamen Vielfachen? Ziehe die Zahlen jeweils an die richtige Stelle.
8
12
ggT(24;32)=
kgV(4;12)=
Aufgabe:
Bestimme den größten gemeinsamen Teiler der Zahlen 24 und 56.
24
.
56
.
2
.
4
.
8
.
Aufgabe:
Markiere das kleinste gemeinsame Vielfache von 12 und 22.
Dann ist der größte gemeinsame Teiler 1 und das kleinste gemeinsame Vielfache 3.
Wahr
Falsch
Aufgabe:
Zieh die Zahl jeweils an die richtige Stelle.
Der größte gemeinsame Teiler von 3 und 12 ist
.
Das kleinste gemeinsame Vielfache von 14 und 42 ist
.
Der größte gemeinsame Teiler von
und 17 ist 1.
Das kleinste gemeinsame Vielfache von 5 und
ist 30.
6
3
42
4
Aufgabe:
Beurteile, ob die folgende Aussage stimmt oder nicht.
Der größte gemeinsame Teiler zweier verschiedener Zahlen kann niemals identisch mit dem kleinsten gemeinsamen Vielfachen dieser beiden Zahlen sein.
Wahr
Falsch
Was du wissen musst
Wie berechnet man das kgV?
Um das kleinste gemeinsame Vielfache von zwei Zahlen zu berechnen, benötigst du die Primfaktorzerlegung.
Beispiel: Berechne das kleinste gemeinsame Vielfache von 28 und 68.
24=2⋅2⋅2⋅368=2⋅2⋅17kgV(24,68)=2⋅2⋅2⋅3⋅17=408
Für das kgV multiplizierst du alle Primzahlen, die in den Zerlegungen vorkommen, in ihrer häufigsten Anzahl. Allerdings nicht doppelt! Das heißt, du berücksichtigst nur 2⋅2⋅2 aus der Zerlegung von 24 und nicht noch zusätzlich 2⋅2 aus der Zerlegung von68.
Das kgV von 24 und 68 ist also 476, kurz: kgV(24,68)=408
Wie berechnet man den ggT?
Um den größten gemeinsamen Teiler von zwei Zahlen zu berechnen, benötigst du die Primfaktorzerlegung.
Beispiel: Berechne den größten gemeinsamen Teiler von 28 und 68.
24=2⋅2⋅2⋅368=2⋅2⋅17ggT(24,68)=2⋅2=4
Für den ggT multiplizierst du die Primzahlen, die in beiden Zerlegungen vorkommen, in ihrer minimalen Anzahl.
Der ggT von 24 und 68 ist also 4, kurz: ggT(24,68)=4
Wie berechnet man das kgV und den ggT für mehr als zwei Zahlen?
Du findest das kleinste gemeinsame Vielfache und den größten gemeinsamen Teiler von mehreren Zahlen genauso wie von zwei Zahlen. Um das kgV oder den ggT von mehreren Zahlen zu berechnen, zerlegst du alle Zahlen in ihre Primfaktoren und berechnest dann das kgV oder den ggT.
Das kgV von 128, 400 und 600 ist 9600, kurz:
kgV(128,400,600)=9600
Wozu braucht man kgV und ggT?
Das kgV hilft dir bei der Addition und Subtraktion von Brüchen. Du kannst mit dem kleinsten gemeinsamen Vielfachen nämlich den kleinsten gemeinsamen Nenner von zwei oder mehreren Brüchen finden. Das erleichtert dir die Rechnung, da du mit möglichst kleinen Brüchen weiterrechnen kannst.
Der ggT hilft dir ebenfalls in der Bruchrechnung. Du kannst mit dem größten gemeinsamen TeilerBrüche kürzen oder erweitern und die weiteren Rechnungen übersichtlich halten.
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