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Lexikon Mathe

Schriftliches Rechnen

Sollten einmal weder ein Taschenrechner, noch ein Smartphone, Schreibtischcomputer oder Kopfrechengenie vefügbar sein, kann man die Grundrechenarten auch „auf Papier“, also schriftlich ausführen. Dabei wird immer stellengerecht gerechnet, d. h. alle Dezimalkommas müssen untereinander stehen. Fehlende Dezimalstellen am Ende können zur besseren Übersicht durch Nullen aufgefüllt werden.

 

Addition

Es wird von rechts nach links und von oben nach unten gerechnet, also erst „7 + 0 = 7“, dann „6 + 3 = 9“ usw.
Achtung: Bei der „Einerstelle“ rechnet man „4 + 8 = 12“, das Ergebnis ist also größer als 9 und es gibt einen sog. Übertrag. Der wird bei der nächsten Stelle, also der Zehnerstelle, mit hinzuaddiert: „3 + 1 + 1 = 5“.

    34,567
 + 18,43_
     52,997

  bzw.  

   34,567
 +18,430
    52,997

 

Subtraktion

Bei der Subtraktion wird immer die untere Zahl von der oberen abgezogen. Ist die obere kleiner, addiert man in Gedanken zehn dazu und zählt dafür bei der nächsten Stelle einen Übertrag von 1 hinzu. Also: „10 – 4 = 6“, dann „10 – (2 + 1) = 10 – 3 = 7“ usw.

Wenn mehr als zwei Zahlen subtrahiert werden sollen, wird die Summe aller unteren Zahlen von der oberen subtrahiert, also im rechten Beispiel: 7 – (1 + 3) = 7 – 4 = 3“, dann „12 – (7 + 4) = 12 – 11 = 1“ und schließlich „2 – (0 + 0 + 1) = 1“. Dabei ist der dritte Summand in der Klammer der Übertrag von der Einer- in die Zehnerstelle.

   422,8400
–   70,7324
   352,1076 

  bzw.  

  22,7
    7,1
–  4,3
  11,3

 

Multiplikation

Wird eine Dezimalzahl mit einer ganzzahligen Zehnerpotenz (Stufenzahl) multipliziert, so verschiebt sich das Komma um so viele Stellen nach rechts, wie die Stufenzahl Nullen hat.

Beispiele:
3,465 · 100 = 346,5
0,031 · 10.000 = 0,0310 · 10.000 = 310

Bei der Multiplikation zweier Dezimalzahlen rechnet man zunächst ohne Berücksichtigung des Kommas. Beim Ergebnis werden danach von rechts her so viele Dezimalzahlen durch ein Komma abgetrennt, wie die Faktoren zusammen besitzen. Die Rechnung selbst geschieht folgendermaßen: Erst wird am weitesten links stehende Stellen des rechten Faktors, die nicht 0 ist, von rechst nach links mit den Stellen des linken Faktors multipliziert und die Ergebnisse, meist mit Übertrag, im Kopf zusammen addiert. Anschließend macht man dasselbe mit der nächsten Stelle des rechten Faktors und schreibt das Ergebnis in eine neue Zeile darunter, aber um eine Stelle nach rechts versetzt. Am Ende werden diese Zwischenergebnisse schriftlich addiert. Im Beispiel heißt das:

Erste Zeile:   „8 · 3 = 24“, also 4 (Übertrag 2), dann „8 · 4 + 234“, also wieder 4 (Übertrag 3), dann „8 · 2 + 3 = 19“, also 19 (es folgt keine weitere Stelle im linken Faktor)
Zweite Zeile: „7 · 3 = 
21“, also 1 (Übertrag 2), dann „7 · 4 + 2 = 30“, also 0 (Übertrag 3), dann „7 · 2 + 3 = 17“, also 17 (es folgt keine weitere Stelle im linken Faktor)

Beispiel:
 0,243 · 0,087
            1944
              1701
       0,021141

Hier haben die beiden Faktoren zusammen 3 + 3 = 6 Dezimalzahlen. Um im Ergebnis 6 Dezimalzahlen zu erhalten, muss vor der Ziffer 2 noch eine Null ergänzt werden.

 

Division

Wird eine Dezimalzahl durch eine Zehnerpotenz (Stufenzahl) dividiert, so verschiebt sich das Komma um so viele Stellen nach links, wie die Stufenzahl Nullen hat. Gegebenenfalls müssen Nullen vorangestellt werden (wie beim zweiten der folgenden Beispiele).

Beispiele:
139,2 : 100 = 1,392
2,01 : 10 000 = 0,000 201

Wird eine Dezimalzahl durch eine Dezimalzahl dividiert, so untersucht man zunächst den Dividenden (linke Zahl): Wie viel Stellen von links ergeben ein einstelliges Vielfaches des Divisors (rechte Zahl)? Im linken Beispiel sind es 3 Stellen (167 : 125 ist etwas mehr als 1, 1670 :125 dagegen sicher größer als 10), im rechten Beispiel nur eine Stelle. Dann schätzt man, wie oft der Divisor in diese Zahl hineinpasst (in beiden Beispielen 1-mal) und schreibt diese Zahl als erste Stelle des Ergebnisses hin.
Anschließend bestimmt man den Divisionsrest dieser ersten Teilaufgabe, indem der Divisor mit der notierten ersten Stelle des Ergebnisses multipliziert und dann schriftlich vom linken Teil des Dividenden subtrahiert wird (in den Beispielen 167 – 1 · 125 = 42 bzw. 
4 – 1 · 3 = 1).
Nun holt man „die nächste Stelle herunter“, im linken Beispiel „2“, rechts „7“. Da dabei in beiden Fällen das Dezimalkomma beim Dividenden überschritten wird, setzt man beim Ergebnis ein Komma.
Dann wird wieder das einstellige Vielfache gesucht, der Teildivisionsrest bestimmt und die nächste Stelle heruntergeholt.

Das Verfahren wird so lange fortgesetzt, bis entweder eine der Teilsubtraktionen 0 ergibt, also eine „Teildivision“ aufgeht (linkes Beispiel), bis das Ergebnis periodisch wird (sich offenkundig eine Stelle oder eine Abfolge von Stellen im Ergebnis dauerhaft wiederholt) oder einfach bis eine gewünschte Genauigkeit erreicht ist. Dann allerdings muss noch eine weitere Stelle berechnet werden, damit man korrekt runden kann!

Beispiele:

    167,25 : 125 = 1,338
 – 125
      422
   – 375
         475
      – 375
         1000
      – 1000
                0

   4,7 : 3 = 1,566… = \(1,5\overline{6}\)
– 3
   17
– 15
     20
  – 18
        20
          ⋮

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