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Quadratische Funktionen und Gleichungen (2)


Aufgabe 1

Gegeben sei die quadratische Funktion f mit \(f(x) = 0,5x^2-2x-1\).

  1. Zeichne den Graphen der Funktion f in das Koordinatensystem ein.
  2. Liegt der Punkt P(0,5|–1,875) auf dem Graphen von f? Mache die Punktprobe!
  3. Gib die Schnittpunkte der Parabel f mit der x-Achse und der y-Achse an.
  4. Bestimme den Scheitelpunkt der Parabel f.
  5. Gib die Scheitelpunktform und die Produktform der Funktion f an.
  6. Bestimme die Schnittpunkte der Parabel f mit der Geraden g mit \(g(x) = 2x-2\).

Quadratische Funktionen und Gleichungen (2) - Abbildung 1

Aufgabe 1a.

Zeichne den Graphen der Funktion f in das Koordinatensystem ein.

Schritt 1: Vorüberlegung

Erstelle eine Wertetabelle und übertrage die Punkte in das Koordinatensystem. Verbinde die Punkte anschließend sinnvoll.

Schritt 2: Graph zeichnen

Quadratische Funktionen und Gleichungen (2) - Abbildung 2

Aufgabe 1b.

Liegt der Punkt P(0,5|–1,875) auf dem Graphen von f? Mache die Punktprobe!

Schritt 1: Vorüberlegung

Setze die x-Koordinate x = 0,5 in die Funktionsgleichung ein und vergleiche den errechneten Funktionswert mit der y-Koordinate vom Punkt P.

Schritt 2: Punktprobe

\(f(0,5) = 0,5\cdot (0,5)^2-2 \cdot 0,5-1=-1,875\)  \(\Rightarrow \)  Der Punkt P liegt auf dem Graphen von f.

Aufgabe 1c.

Gib die Schnittpunkte der Parabel f mit der x-Achse und der y-Achse an.

Schritt 1: Vorüberlegung

Die Schnittpunkte mit der x-Achse sind die Nullstellen. Der Lösungsansatz lautet \(f(x)=y=0\). Du erhältst eine quadratische Gleichung, die du mit der Lösungsformel (p-q-Formel) \(x_{1/2}= -\frac{p}{2}\pm\sqrt{ (\frac{p}{2})^2-q}\) löst. Den Schnittpunkt mit der y-Achse bestimmst du, indem du \(x=0\) in die Funktionsgleichung einsetzt.

Schritt 2: Schnittpunkt mit der x-Achse

\(0 = 0,5x^2-2x-1 \Leftrightarrow 0=x^2-4x-2\)

\(x_{1/2}= -\frac{p}{2}\pm\sqrt{ (\frac{p}{2})^2-q}\)

\(x_{1/2}= -\frac{-4}{2}\pm\sqrt{ (\frac{-4}{2})^2-(-2)}=2\pm\sqrt{ (2)^2+2}=2\pm\sqrt{6}\)

\(\Rightarrow x_{1}= 2 +2,45= 4,45\) und \(\Rightarrow x_{1}= 2 -2,45= -0,45\)

\(N_1(-0,45|0);\ N_2(4,45|0)\)

Schritt 3: Schnittpunkt mit der y-Achse

\(f(0) = 0,5(0)^2-2\cdot0-1=-1\)

\(S_y(0|-1)\)

Aufgabe 1d.

Bestimme den Scheitelpunkt der Parabel f.

Schritt 1: Vorüberlegung

Du kannst die quadratische Funktion in die Scheitelpunktform überführen und anschließend den Scheitelpunkt ablesen. Schneller geht es jedoch, wenn du die Symmetrie der quadratischen Funktion verwendest. Der x-Wert des Scheitelpunktes liegt somit genau in der Mitte zwischen den Nullstellen (1c.). Du kannst die Formel \(x_s=\frac{x_1\ +\ x_2}{2}\) anwenden. Anschließend musst du \(x_s\) in die Funktionsgleichung einsetzen und \(y_s\) bestimmen.

Schritt 2: Scheitelpunkt bestimmen

\(x_s=\frac{-0,45\ +\ 4,45}{2}=2\)

\(y_s=f(2)=0,5\cdot 2^2-2\cdot 2-1=-3\)

\(\Rightarrow S(2|-3)\)

Aufgabe 1e.

Gib die Scheitelpunktform und die Produktform der Funktion f an.

Schritt 1: Vorüberlegung

Da du den Scheitelpunkt und die Nullstellen schon bestimmt hast, kannst du diese Ergebnisse direkt in die allgemeine Scheitelpunktform \(f(x)=a(x-x_s)^2+y_s\) und die allgemeine Produktform \(f(x)=a(x-x_1)(x-x_2)\) einsetzen.

Schritt 2: Scheitelpunktform angeben

\(f(x)=a(x-x_s)^2+y_s\) und \( S(2|-3)\) und \(a=0,5\) \(\Rightarrow f(x)=0,5(x-2)^2-3\)

Schritt 3: Produktform angeben

\(f(x)=a(x-x_1)(x-x_2)\) und \(N_1(-0,45|0),\ N_2(4,45|0)\) und \(a=0,5\)

\(\Rightarrow f(x)=0,5(x+0,45)(x-4,45)\)

Aufgabe 1f.

Bestimme die Schnittpunkte der Parabel f mit der Geraden g mit \(g(x) = 2x-2\).

Schritt 1: Vorüberlegung

Die x-Koordinaten des Schnittpunktes bestimmst du, indem du die Funktionsgleichungen von f und g gleichsetzt: \(f(x)=g(x)\). Setze diesen x-Wert anschließend in die Funktionsgleichung von f oder g ein, um auch die y-Koordinate zu berechnen.

Schritt 2: Schnittpunkte bestimmen

x-Koordinate:  \(f(x)=g(x)\)  \(\Leftrightarrow 0,5x^2-2x-1=2x-2\)

\(\Leftrightarrow 0=0,5x^2-4x+1 \Leftrightarrow 0=x^2-8x+2\)

\(x_{1/2}= -\frac{p}{2}\pm\sqrt{ (\frac{p}{2})^2-q}\)

\(x_{1/2}= -\frac{-8}{2}\pm\sqrt{ (\frac{-8}{2})^2-2}=4\pm\sqrt{ (4)^2-2}=4\pm\sqrt{14}\)

\(\Rightarrow x_{1}= 4 +3,74= 7,74\) und \(\Rightarrow x_{1}= 4 -3,74= 0,26\)

y-Koordinate: \(g(7,74)= 2 \cdot 7,74 -2=13,48=y_1\) und \(g(0,26)= 2 \cdot (0,26) -2=-1,48=y_2\)

\(S_1(0,26|-1,48);\ S_2(7,74|13,48)\)

  • Schwierigkeitsgrad:  1
  • Zeit:  13 Minuten
  • Punkte:  12

Aufgabe 2

Ordne den folgenden Graphen die passende Funktionsgleichung zu.

I.   \(y=-0,6x^2 + 4x-3\)          II.   \(y = x^2+3x-2\)         

III.   \(y = 0,3x^2-2x\)                IV.   \(y=-2x^2-1,5x+1\)

Quadratische Funktionen und Gleichungen (2) - Abbildung 3

Schritt 1: Vorüberlegung

Du musst auf das absolute Glied c der quadratischen Funktion \(f(x) = ax^2+bx+c\) gucken. Das absolute Glied gibt den y-Achsenabschnitt der Funktion an.

Schritt 2: Zuordnung

Die Funktion I gehört zu dem Graphen g, da c = –3 ist.

Die Funktion II gehört zu dem Graphen h, da c = –2 ist.

Die Funktion III gehört zu dem Graphen f, da c = 0 ist.

Die Funktion IV gehört zu dem Graphen i, da c = 1 ist.

  • Schwierigkeitsgrad:  1
  • Zeit:  4 Minuten
  • Punkte:  4

Aufgabe 3

Berechne die Lösungen der folgenden quadratischen Gleichungen und gib die Lösungsmenge an.

  1. \(x^2 -8x+7=0\)
  2. \(5x^2=12x\)
  3. \(4x(x-2)+4x=4(2+x)+52\)
  4. \((5x-10)(x+1)=0\)

Aufgabe 3a.

\(x^2 -8x+7=0\)

Schritt 1: Vorüberlegung

Die quadratische Gleichung \(x^2-8x+7=0\) liegt schon in der Normalform vor. Du kannst also direkt die Lösungsformel (p-q-Formel) \(x_{1/2}= -\frac{p}{2}\pm\sqrt{ (\frac{p}{2})^2-q}\) anwenden und die Lösungen bestimmen.

Schritt 2: Lösungen bestimmen

\(x^2-8x+7=0\)\(\Rightarrow p=-8,q=7\)

\(x_{1/2}= -\frac{-8}{2}\pm\sqrt{ (\frac{-8}{2})^2-7}\) \(\Leftrightarrow x_{1/2}= 4\pm\sqrt{ (4)^2-7}\) \(\Leftrightarrow x_{1/2}= 4\pm\sqrt{9}\)

\(\Rightarrow x_{1}= 4 +3= 7\) und \(\Rightarrow x_{1}= 4 -3= 1\)

\(L= \{1; 7\}\)

Aufgabe 3b.

\(5x^2=12x\)

Schritt 1: Vorüberlegung

Du musst die quadratische Gleichung nach null umstellen und anschließend ein x ausklammern. Aus der so entstandenen Produktform kannst du die Nullstellen direkt ablesen.

Schritt 2: Lösungen bestimmen

\(5x^2=12x \Leftrightarrow 5x^2-12x=0\) \(\Leftrightarrow\) \(x(5x-12)=0\)

\(\Rightarrow x_1=0\) und \((5x_2-12) = 0 \Leftrightarrow x_2=2,4 \)

\(L= \{0; 2,4\}\)

Aufgabe 3c.

\(4x(x-2)+4x=4(2+x)+52\)

Schritt 1: Vorüberlegung

Du musst die quadratische Gleichung \(4x(x-2)+4x=4(2+x)+52\) in die Normalform überführen. Anschließend kannst du die Lösungsformel (p-q-Formel) \(x_{1/2}= -\frac{p}{2}\pm\sqrt{ (\frac{p}{2})^2-q}\) anwenden und die Lösungen bestimmen.

Schritt 2: Lösungen bestimmen

\(4x(x-2)+4x=4(2+x)+52 \Leftrightarrow 4x^2-8x+4x=8+4x+52 \)

\(\Leftrightarrow 4x^2-8x-60=0 \Leftrightarrow x^2-2x-15=0\) \(\Rightarrow p=-2,q=-15\)

\(x_{1/2}= -\frac{-2}{2}\pm\sqrt{ (\frac{-2}{2})^2-(-15)}\) \(\Leftrightarrow x_{1/2}= 1\pm\sqrt{ (1)^2+15}\) \(\Leftrightarrow x_{1/2}= 1\pm\sqrt{16}\)

\(\Rightarrow x_{1}= 1 +4= 5\) und \(\Rightarrow x_{1}= 1 -4= -3\)

\(L= \{-3; 5\}\)

Aufgabe 3d.

\((5x-10)(x+1)=0\)

Schritt 1: Vorüberlegung

Die quadratische Gleichung \((5x-10)(x+1)=0\) liegt in der Produktform vor. Da ein Produkt immer genau dann das Ergebnis null hat, wenn einer der Faktoren null ist, musst du die Faktoren einzeln bearbeiten: \((5x-10) = 0\) und \((x+1) = 0\).

Schritt 2: Lösungen bestimmen

\((5x-10)(x+1)=0\)

\(\Rightarrow(5x_1-10) = 0 \Rightarrow x_1=2\) und \((x_2+1) = 0 \Rightarrow x_2=-1\)

\(L= \{-1; 2\}\)

  • Schwierigkeitsgrad:  1 2
  • Zeit:  9 Minuten
  • Punkte:  8

Aufgabe 4

Gib die Funktionsgleichung der Parabel mit dem Scheitelpunkt S(2|11) und dem Punkt A(0|5) an.

Schritt 1: Vorüberlegung

Da der Scheitelpunkt gegeben ist, musst du die Scheitelpunktform \(f(x)=a(x-x_s)^2+y_s\) verwenden. Setze den Scheitelpunkt und den Punkt A in die Scheitelpunktform ein und bestimme auf diesem Weg den Streckfaktor a.

Schritt 2: Funktionsgleichung bestimmen

\(f(x)=a(x-x_s)^2+y_s\) \(\Rightarrow f(x)=a(x-2)^2+11\)

\(A(0|5) \)\(\Rightarrow 5=a(0-2)^2+11 \Leftrightarrow 4a=-6 \Rightarrow a=-1,5\)

\(\Rightarrow f(x)=-1,5(x-2)^2+11\)

  • Schwierigkeitsgrad:  2
  • Zeit:  6 Minuten
  • Punkte:  4

Aufgabe 5

Zwischen dem Boden und einem parabelförmigen Bogen soll eine große Leinwand aufgespannt werden. Der Bogen beschreibt eine Parabel mit der Funktionsgleichung \(f(x) = -0,1x^2 +1,8x\), wobei f die Höhe über dem Boden (in Meter) und x die horizontale Entfernung (in Meter) darstellt.

  1. Wie weit sind die Bogenenden am Boden voneinander entfernt?
  2. Wie hoch ist der Bogen?
  3. Welche Länge hat die Leinwand, wenn sie 5 m hoch sein soll?

Quadratische Funktionen und Gleichungen (2) - Abbildung 4

Aufgabe 5a.

Wie weit sind die Bogenenden am Boden voneinander entfernt?

Schritt 1: Vorüberlegung

Die Bogenenden sind die Nullstellen der quadratischen Funktion \(f(x) = -0,1x^2 +1,8x\). Du musst die Nullstellen mit der Lösungsforme\(x_{1/2}= -\frac{p}{2}\pm\sqrt{ (\frac{p}{2})^2-q}\) bestimmen. Überführe vorher die zugehörige quadratische Gleichung in die Normalform.

Schritt 2: Nullstellen bestimmen

\(0= -0,1x^2 +1,8x \) \(\Leftrightarrow 0= x^2 -18x\)

\(x_{1/2}= -\frac{p}{2}\pm\sqrt{ (\frac{p}{2})^2-q}\)

\(x_{1/2}= -\frac{-18}{2}\pm\sqrt{ (\frac{-18}{2})^2-0}\)

\(\Rightarrow x_{1/2}=9\pm\sqrt{ 9^2}=9\pm\sqrt{81}\)

\(\Rightarrow x_{1}=9+9=18\) und \(x_{1}=9-9 =0\)

Schritt 3: Antwortsatz

Die Bogenenden sind 18 Meter voneinander entfernt.

Aufgabe 5b.

Wie hoch ist der Bogen?

Schritt 1: Vorüberlegung

Die größte Höhe hat der Bogen an seinem Scheitelpunkt. Den Scheitelpunkt bestimmst du über die Symmetrieeigenschaft der Parabel. Die x-Koordinate des Scheitelpunktes liegt genau in der Mitte der beiden Nullstellen: \(x_s=\frac{x_1\ +\ x_2}{2}\). Die y-Koordinate erhältst du, indem du \(x_s\) in die Funktionsgleichung einsetzt. \(y_s\) gibt die Höhe an.

Schritt 2: Höhe des Bogens bestimmen

\(x_s=\frac{x_1\ +\ x_2}{2}\)  \(\Rightarrow x_s=\frac{18\ +\ 0}{2}=9\)

\(y_s=f(x_s)=f(9)=-0,1\cdot(9)^2+1,8 \cdot 9= -8,1+16,2=8,1\)

Schritt 3: Antwortsatz

Der Bogen ist 8,1 Meter hoch.

Aufgabe 5c.

Welche Länge hat die Leinwand, wenn sie 5 m hoch sein soll?

Schritt 1: Vorüberlegung

Du musst die Stellen bestimmen, an denen der Bogen 5 m hoch ist: \(f(x)=5\). Der Abstand dieser Stellen gibt die Länge der Leinwand an.

Schritt 2: Länge der Leinwand bestimmen

\(f(x) = -0,1x^2 +1,8x\)  \(\Rightarrow5 = -0,1x^2 +1,8x \Leftrightarrow 0=-0,1x^2+1,8x-5\)

\(0= -0,1x^2 +1,8x -5\) \(\Leftrightarrow 0= x^2 -18x+50\)

\(x_{1/2}= -\frac{p}{2}\pm\sqrt{ (\frac{p}{2})^2-q}\)

\(x_{1/2}= -\frac{-18}{2}\pm\sqrt{ (\frac{-18}{2})^2-50}\)

\(\Rightarrow x_{1/2}=9\pm\sqrt{ 9^2-50}=9\pm\sqrt{31}\)

\(\Rightarrow x_{1}=9+5,57=14,57\) und \(x_{1}=9-5,57 =3,43\)

Länge der Leinwand: \(14,57-3,43=11,14\)

Schritt 3: Antwortsatz

Die Leinwand hat eine Länge von 11,14 Metern.

  • Schwierigkeitsgrad:  2
  • Zeit:  8 Minuten
  • Punkte:  8

Aufgabe 6

Bei welchen Werten von q in einer quadratischen Gleichung \(x^2 + px +q=0\) kannst du angeben, dass die quadratische Gleichung mit Sicherheit zwei Lösungen hat? Begründe deine Antwort!

Schritt 1: Vorüberlegung/Begründung

Die Anzahl der Lösungen einer quadratischen Gleichung hängt von der Diskriminante \(D=(\frac{p}{2})^2-q\) in der Lösungsformel ab. Damit eine quadratische Gleichung zwei Lösungen haben kann, muss die Diskriminante positiv sein. Da \((\frac{p}{2})^2\) als Quadratzahl immer positiv ist, erhältst du mit Sicherheit eine positive Diskriminante, wenn q negative Werte hat.

Schritt 2: Antwortsatz

Die quadratische Gleichung \(x^2 + px +q=0\) hat für negative Werte von q mit Sicherheit zwei Lösungen, da dann die Diskriminante in der Lösungsformel positiv ist.

  • Schwierigkeitsgrad:  3
  • Zeit:  5 Minuten
  • Punkte:  3
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