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Lexikon Mathe

Logarithmus

Der Logarithmus von x zur Basis a ist diejenige reelle Zahl r, mit der man a potenzieren muss, um x zu erhalten. x wird dabei auch der Numerus genannt.

Man schreibt dies

\(\displaystyle \log_a x = r \ \ \Leftrightarrow \ \ a^r = x \ \ (a \in \mathbb R^+\! \setminus \{1\}, \ x \in \mathbb R^+)\)

und liest „Logarithmus von x zur Basis a“.

Aus der Definition ergeben sich drei Sonderfälle:

  • logaa = 1, da a1 = a,

  • loga 1 = 0, da a0 = 1,

  • loga ac = c, da ac = ac.

Beispiele:

  • log2 8 = 3, da 23 = 8,

  • \(\displaystyle \log_4 \frac{1}{16} = - 2,\) da \(\displaystyle 4^{ - 2} = \frac{1}{4^2} = \frac{1}{16}\)

  • \(\displaystyle \log_3 \sqrt[4]{3^3} = \frac{3}{4} ,\) da \(\displaystyle 3^{\frac{3}{4}} = \sqrt[4]{3^3}\)

 

Für einige besondere Basen benutzt man eigene Namen und Symbole:

Basis

Name

Symbol

10

dekadischer Logarithmus

log10 x = lg x

e (Euler’sche Zahl)

natürlicher Logarithmus

loge x = ln x

2

binärer Logarithmus

log2 x = lb x

Achtung: Manchmal schreibt man einfach „log x“, ohne eine Basis anzugeben. Dann ist häufig, aber bei weitem nicht immer der dekadische bzw. 10-er Logarithmus gemeint!

 

Zwischen zwei verschiedenen Basen rechnet man den Logarithmus folgendermaßen um:

\(\displaystyle \log_a x = \frac{1}{\log_b a} \cdot \log_b x\)

insbesondere gilt für die Umrechnung auf den natürlichen Logarithmus

\(\displaystyle \log_a x = \frac{1}{\ln a} \cdot \ln x\)

 

Für das Rechnen mit Logarithmen gelten die sog. Logarithmensätze.

In der Analysis untersuscht man die Eigenschaften der Logarithmusfunktionen.

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