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Wie du Parabeln verschiebst, stauchst und streckst


Schritt-für-Schritt-Anleitung

Wie du Parabeln verschiebst, stauchst und streckst

Aufgabe

Bestimme den Scheitelpunkt \(S\) aufgrund der Funktionsgleichung und beschreibe stichpunktartig die Lage des zugehörigen Graphen.

  1.  \(f(x)=-(x+0{,}75)^{2}-3\)
  2.  \(f(x)=-(3+x)^{2}+1{,}5\)
  3.  \( f(x)=0,5(a-x)^{2}\)

Schritt 1: Koordinaten der Scheitelpunkte bestimmen

Die drei Funktionsgleichungen sind alle in Scheitelpunktform gegeben, sodass du die Koordinaten der Scheitelpunkte direkt ablesen kannst.

a)

\(f(x)=-(x+0{,}75)^{2}-3\)

In der Klammer steht \(x+0{,}75=x-(-0{,}75)\), d. h., die \(x\)-Koordinate des Scheitelpunkts ist \(-0{,}75\). Die \(y\)-Koordinate ist das, was hinter dem Quadrat steht, also \(-3\). Folglich liegt der Scheitelpunkt hier bei \(S(-0{,}75|-3)\).

b)

\( f(x)=-(3+x)^{2}+1{,}5\)

In der Klammer steht \(3+x=x-(-3)\), d. h. die \(x\)-Koordinate des Scheitelpunkts ist \(-3\). Die \(y\)-Koordinate ist wieder das, was hinter dem Quadrat steht, nämlich \(1{,}5\). Folglich liegt der Scheitelpunkt hier bei \(S(-3|1{,}5)\).

c)

\(f(x)=0{,}5(a-x)^{2}\)

Es ist \((a-x)^{2}=(x-a)^{2}\), also ist die \(x\)-Koordinate des Scheitelpunktes \(a\). Hinter dem Quadrat steht nichts mehr, also ist die \(y\)-Koordinate des Scheitelpunkts gleich null. Folglich liegt der Scheitelpunkt hier bei \(S(a|0)\).

Schritt 2: Lage beschreiben

Schau dir zuerst den Streckfaktor bzw. Stauchfaktor an (das ist die Zahl vor der quadrierten Klammer), denn er gibt an, ob die Parabel im Vergleich zur Normalparabel gestreckt oder gestaucht ist, bzw. ob die Parabel nach oben oder nach unten geöffnet ist. Die Scheitelpunktkoordinaten sagen dir anschließend, wie du die Normalparabel \(y=x^2\) verschieben musst, um auf den ermittelten Scheitelpunkt zu kommen.

a)

\(f(x)=-(x+0{,}75)^{2}-3\)

Der Streckfaktor ist \(-1\). Er ist negativ, also ist die Parabel nach unten geöffnet (d. h. im Vergleich zur Normalparabel vertikal gespiegelt). Sein Betrag ist \(|-1|=1\), also ist die Parabel im Vergleich zur Normalparabel weder gestreckt, noch gestaucht.

Der Scheitel der Normalparabel \(y=x^2\) liegt bei \((0|0)\), der Scheitel dieser Parabel hingegen bei \(S(-0{,}75|-3)\). Der Scheitel hat sich also um \(0{,}75 \) Einheiten nach links und um \(3\) Einheiten nach unten verschoben.

Es handelt sich hier also um eine Normalparabel, die zuerst an der \(x\)-Achse gespiegelt und dann um \(0{,}75\) Einheiten nach links und um \(3\) Einheiten nach unten verschoben wurde. Somit liegt die Parabel jetzt komplett unterhalb der \(x\)-Achse und hat als höchsten Punkt \(S(-0{,}75|-3)\).

Lösung

in Stichpunktform:

  • nach unten geöffnet
  • ganz unterhalb der \(x\)-Achse (daher keine Nullstellen)
  • höchster Punkt: \(S(-0{,}75|-3)\)

b)

\(f(x)=-(3+x)^{2}+1{,}5\)

Der Streckfaktor ist \(-1\). Er ist negativ, also ist die Parabel nach unten geöffnet (d. h. im Vergleich zur Normalparabel vertikal gespiegelt). Sein Betrag ist \(|-1|=1\), also ist die Parabel im Vergleich zur Normalparabel weder gestreckt, noch gestaucht.

Der Scheitel der Normalparabel \(y=x^2 \) liegt bei \((0|0)\), der Scheitel dieser Parabel hingegen bei \(S(-3|1{,}5)\). Der Scheitel hat sich also um 3 Einheiten nach links und um Einheiten nach oben verschoben.

Es handelt sich hier also um eine Normalparabel, die zuerst an der \(x\)-Achse gespiegelt und dann um 3 Einheiten nach links und um \(1{,}5 \) Einheiten nach oben verschoben wurde. Somit liegt der Scheitel als höchster Punkt der nach unten geöffneten Parabel oberhalb der \(x\)-Achse, sodass sich zwei Schnittpunkte der Parabel mit der \(x\)-Achse (Nullstellen) ergeben.

Lösung

in Stichpunktform:

  • nach unten geöffnet
  • zwei Schnittpunkte mit der \(x\)-Achse (Nullstellen)
  • höchster Punkt: \(S(-3|1{,}5)\)

c)

\(f(x)=0{,}5(a-x)^{2}\)

Der Streckfaktor ist \(0{,}5\). Er ist positiv, also ist die Parabel nach oben geöffnet (genau wie die Normalparabel). Sein Betrag ist \(|0{,}5|=0{,}5\), also ist die Parabel im Vergleich zur Normalparabel mit dem Faktor \(0{,}5\) in \(y\)-Richtung gestaucht.

Der Scheitel der Normalparabel \(y=x^2 \) liegt bei \((0|0)\)\(S(a|0)\), der Scheitel dieser Parabel hingegen bei. Der Scheitel hat sich also um \(a\) Einheiten nach rechts (falls \(a>0\)) bzw. um \(|a|\) Einheiten nach links (falls \( a<0\)) verschoben.

Es handelt sich hier also um eine mit dem Faktor \(0{,}5 \) in \(y\)-Richtung gestauchte Normalparabel, die dann um \(a\) Einheiten nach rechts (falls \(a>0\)) bzw. um \(|a|\) Einheiten nach links (falls \( a<0\)) verschoben wurde. Somit liegt der Scheitel als tiefster Punkt der Parabel nach wie vor auf der \(x\)-Achse.

Lösung

in Stichpunktform:

  • nach oben geöffnet
  • ein Schnittpunkt mit der \(x\)-Achse
  • tiefster Punkt: \(S(a|0)\)
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