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Wie du den Binomialkoeffizienten bestimmst


Schritt-für-Schritt-Anleitung

Wie du den Binomialkoeffizienten bestimmst

Aufgabe

Berechne den Binomialkoeffizienten \(\binom{9}{7}\) ohne Taschenrechner.

Schritt 1: Wende die Formel für Binomialkoeffizienten an

Den Binomialkoeffizienten kannst du in einen Bruch umschreiben. Die Formel dazu lautet:

\(\binom{n}{k}=\dfrac{n!}{k!\cdot(n-k)!}\)

Die rechte Seite nennt man Fakultätenschreibweise.

Unseren Binomialkoeffizienten kannst du also umschreiben in:

\(\binom{9}{7}=\dfrac{9!}{7!\cdot(9-7)!}=\dfrac{9!}{7!\cdot2!}\)

Schritt 2: Schreibe die Fakultäten als Produkt

Jetzt kannst du die Fakultäten laut ihrer Definition in ein Produkt umschreiben. Also:

\(\dfrac{9!}{7!\cdot2!}= \dfrac{9\cdot8\cdot7\cdot6\cdot5\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1}{7\cdot6\cdot5\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1\cdot2\cdot1}\)

Es fällt auf, dass die Faktoren 1 bis 7 sowohl im Zähler als auch im Nenner auftauchen. Man kann sie also kürzen.

\(\dfrac{9\cdot8\cdot7\cdot6\cdot5\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1}{7\cdot6\cdot5\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1\cdot2\cdot1}= \dfrac{9\cdot8}{2\cdot1}\)

Hinweis

Man hätte sich hier auch ein bißchen Schreibarbeit sparen können. Denn 9! enthält ja alle Faktoren von 7!.

\(9\cdot8\cdot\color{red}7\color{red}\cdot\color{red}6\color{red}\cdot\color{red}5\color{red}\cdot\color{red}4\color{red}\cdot\color{red}3\color{red}\cdot\color{red}2\color{red}\cdot\color{red}1\)

Also kann man auch kürzer schreiben: 

\(\dfrac{9!}{7!\cdot2!}= \dfrac{9\cdot8\cdot7!}{7!\cdot2\cdot1}\)

Du siehst schnell, dass du \(7!\) kürzen kannst.

Schritt 3: Kürze

Jetzt kannst du noch weiter kürzen. In unserem Fall können wir 2 im Nenner mit 8 im Zähler kürzen. Übrig bleibt eine einfache Multiplikation.

\(\dfrac{9\cdot8}{2\cdot1}=\dfrac{9\cdot4}{1}=9\cdot4=36\)

Lösung

\(\binom{9}{7}=36\)

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