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Schritt-für-Schritt-Anleitung

Wie du Volumen von Spaten und Pyramiden berechnest

Aufgabe

Die Vektoren \(\vec{a}=\begin{pmatrix}2\\1\\2\end{pmatrix}, \vec{b}=\begin{pmatrix}-1\\2\\0\end{pmatrix}\) und \(\vec{c}_t=\begin{pmatrix}4t\\2t\\-5t\end{pmatrix}\) spannen für jeden Wert von \(t\) mit \(t\in\mathbb{R}\setminus\{0\}\) einen Körper auf. Die Abbildung zeigt den Sachverhalt beispielhaft für einen Wert von \(t\).

Wie du Volumen von Spaten und Pyramiden berechnest - Abbildung 1

Bestimme diejenigen Werte von \(t\), für die der jeweils zugehörige Körper das Volumen 15 besitzt.

Schritt 1: Formel für Spatvolumen anwenden

Das Volumen eines durch drei Vektoren \(\vec{a}, \vec{b}\) und \(\vec{c}\) aufgespannten Spats ist gegeben durch das Spatprodukt

\(V=\left|(\vec{a}\times\vec{b})\circ\vec{c}\right|\).

In diesem Fall ergibt sich also:

\(\begin{align*} V&=\left|\left(\vec{a}\times\vec{b}\right)\circ\vec{c}_t\right|\\ &=\left|\left(\begin{pmatrix}2\\1\\2\end{pmatrix}\times\begin{pmatrix}-1\\2\\0\end{pmatrix}\right)\circ\begin{pmatrix}4t\\2t\\-5t\end{pmatrix}\right|\\ &=\left|\begin{pmatrix}1\cdot 0-2\cdot 2\\2\cdot(-1)-2\cdot 0\\2\cdot 2-1\cdot(-1)\end{pmatrix}\circ\begin{pmatrix}4t\\2t\\-5t\end{pmatrix}\right|\\ &=\left|\begin{pmatrix}-4\\-2\\5\end{pmatrix}\circ\begin{pmatrix}4t\\2t\\-5t\end{pmatrix}\right|\\ &=\left|(-4)\cdot 4t+(-2)\cdot 2t+5\cdot(-5t)\right|\\ &=45|t| \end{align*}\)

Schritt 2: Gleichung aufstellen und nach t auflösen

Gesucht sind alle Werte von \(t\), für die das eben berechnete Volumen 15 Volumeneinheiten beträgt. Du musst also die Gleichung \(45|t|=15\) lösen. Aber \(|t|=\frac{15}{45}=\frac{1}{3}\) ist gleichbedeutend mit \(t=-\frac{1}{3}\) oder \( t=\frac{1}{3}\).

Lösung

Somit gibt es genau zwei Werte von \(t\) mit der gewünschten Eigenschaft, nämlich \(t=-\frac{1}{3}\) und \(t=\frac{1}{3}\).

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