Bessere Noten mit Duden Learnattack Jetzt kostenlos testen
 

Wie du die Veränderung des Graphen einer Potenzfunktion bestimmst


Aufgabe

Wie verändern sich der Graph der Funktion \(f(x) = 4 \cdot x^2 \) jeweils, wenn man

a) das Vorzeichen des Koeffizienten verändert?

b) den Grad der Funktion um 1 erhöht?

c) x um 5 vergrößert?

Lösungsschritt für Teilaufgabe a)

Wie verändern sich die Funktionswerte der Funktion \(f(x) = 4 \cdot x^2 \) jeweils, wenn man
a) das Vorzeichen des Koeffizienten verändert?

Schritt 1: Benutze die grafische Bedeutung des Koeffizienten

Die allgemeine Funktionsgleichung einer Potenzfunktion lautet:

\(f(x) = a \cdot x^b\)

Dabei ist a der sogenannte Koeffizient und b ist die Hochzahl der Potenz.

In unserer Beispielfunktion \(f(x) = 4 \cdot x^2 \) ist der Koeffizient die 4 und die Hochzahl ist die 2. Da die Hochzahl eine positive und gerade Zahl ist, hat der Funktionsgraph die Form einer Parabel. Da der Koeffizient positiv ist, ist die Parabel nach oben geöffnet.

Wenn der Koeffizient jetzt ein negatives Vorzeichen bekommt, dann wird die Parabel an der x-Achse gespiegelt, das heißt also, dass sie jetzt nach unten geöffnet ist.

Wie du die Veränderung des Graphen einer Potenzfunktion bestimmst - Abbildung 1

Das bedeutet für die Funktionswerte: Sie bleiben vom Betrag her gleich, werden aber alle negativ.

Lösungsschritt für Teilaufgabe b)

Wie verändern sich die Funktionswerte der Funktion \(f(x) = 4 \cdot x^2\) jeweils, wenn man
b) den Grad der Funktion um 1 erhöht?

Schritt 1: Benutze die grafische Bedeutung des Funktionsgrades

Der Grad einer Potenzfunktion entspricht der Hochzahl. Unsere Beispielfunktion \(f(x) = 4 \cdot x^2\) hat also den Grad 2.

Wenn du den Grad um 1 erhöhst, dann erhältst du eine Funktion mit der ungeraden Gradzahl 3. Potenzfunktionen mit einer ungeraden Gradzahl haben als Funktionsgraph eine kubische Parabel.

Wie du die Veränderung des Graphen einer Potenzfunktion bestimmst - Abbildung 2

Das bedeutet für die Funktionswerte: Alle Funktionswerte für positive x-Werte haben immer noch ein positives Vorzeichen. Alle Funktionswerte für negative x-Werte haben jetzt aber ein negatives Vorzeichen.

Merke: Potenzfunktionen mit einer positiven und geraden Hochzahl haben als Funktionsgraph eine normale Parabel.

Potenzfunktionen mit einer positiven und ungeraden Hochzahl haben als Funktionsgraph eine kubische Parabel.

Lösungsschritt für Teilaufgabe c)

Wie verändern sich die Funktionswerte der Funktion \(f(x) = 4 \cdot x^2\) jeweils, wenn man
c) x um 5 vergrößert?

Schritt 1: Veränderung berechnen

Um herauszufinden, wie sich f(x) verändert, wenn x um 5 größer wird, addierst du im Funktionsterm 5 zu x dazu.

\(f(x) = 4 \cdot (x+5)^2\)

Jetzt musst du die Klammer auflösen. Das geht am einfachsten mit einer binomischen Formel.

\(f(x) = 4 \cdot (x^2+10x + 25)\)

Jetzt multiplizierst du die Klammer noch mit 4.

\(f(x) = 4 x^2+40x + 100\)

Wenn du diesen Funktionsterm mit der ursprünglichen Funktion vergleichst, fällt dir auf, dass die Terme + 40x und + 100 dazugekommen sind.

Wenn x um 5 vergrößert wird, dann wird der Funktionswert also um 40x + 100 größer.

Lösung

Teilaufgabe a): Wird das Vorzeichen des Koeffizienten verändert, so wird der Funktionsgraph an der x-Achse gespiegelt.

Teilaufgabe b): Wird der Grad der Potenzfunktion um 1 verändert, dann ändert sich die Form des Funktionsgraphen, in diesem Fall von einer normalen Parabel zu einer kubischen Parabel.

Teilaufgabe c): Wird x um 5 vergrößert, so wächst der Funktionswert um 40x + 100.

Registriere dich, um den vollen Inhalt zu sehen!

VERSTÄNDLICH

PREISWERT

ZEITSPAREND

Weitere Mathethemen findest du hier

Wähle deine Klassenstufe

Weitere Schritt-für-Schritt-Anleitungen findest du hier