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Wie du aus einer Wertetabelle den Proportionalitätsfaktor bestimmst


Aufgabe

Ein Apfelbauer stellt jedes Jahr zur Apfelernte Erntehelfer ein, um rechtzeitig zum großen Septembermarkt seine Äpfel verkaufen zu können.

a) Aus den Erfahrungen der letzten Jahre hat der Bauer eine Tabelle erstellt, in der er die Anzahl der Erntehelfer sowie den täglichen Ernteertrag dokumentiert hat. Ermittle anhand der angegebenen Werte den Proportionalitätsfaktor der Zuordnung.

Anzahl der Helfer  4  5  10
Täglicher Ernteertrag (kg)  160  200  400

b) Ebenfalls hat der Bauer dokumentiert, wie viele Tage er für die gesamte Ernte in Abhängigkeit der Anzahl eingestellter Erntehelfer benötigt. Auch hier sollst du den Proportionalitätsfaktor anhand der Wertepaare in der Tabelle bestimmen.

Anzahl der Helfer  4  5  10
Benötigte Erntetage  5  4  2

Lösungsschritte Teilaufgabe a)

Schritt 1: Versuche Regelmäßigkeiten zu erkennen

Schau dir die Wertepaare der Tabelle genauer an und versuche Regelmäßigkeiten zu erkennen. In unserem Fall stellt es sich wie folgt dar:

Je höher der Ausgangswert x (Anzahl der Helfer) ist, desto höher werden auch die zugeordneten Werte y (täglicher Ernteertrag).

Diese Beziehung zwischen Ausgangswert und zugeordnetem Wert ist typisch für eine proportionale Zuordnung.

Schritt 2: Überprüfe die Art der Proportionalität und bestimme den konstanten Wert

Proportionale Zuordnungen sind quotientengleich, das heißt, der Quotient aus dem y-Wert (täglicher Ernteertrag) und dem x-Wert (Anzahl der Helfer) ist konstant. Diesen Quotienten nennt man Proportionalitätsfaktor (q).

 \(q = \frac{y}{x}\)

Setze nun die x-Werte und die entsprechend zugeordneten y-Werte aus der Tabelle in die Formel ein und berechne den Proportionalitätsfaktor.

\(q=\frac{y}x\)

  • Für \(x=4\) gilt: \(q=\frac{160}4=40\)
  • Für \(x=5\) gilt: \(q=\frac{200}5=40\)
  • Für \(x=10\) gilt: \(q=\frac{400}{10}=40\)

Da der Quotient hier immer die Lösung 40 hat, ist die Proportionalität der Zuordnung erwiesen. Der Proportionalitätsfaktor q ist gleich 40.

Lösungsschritte Teilaufgabe b)

Schritt 1: Versuche Regelmäßigkeiten zu erkennen

Schau dir die Werte der Tabelle genauer an und versuche wieder Regelmäßigkeiten zu erkennen. In diesem Fall stellt es sich wie folgt dar:

Je höher der Ausgangswert x (Anzahl der Helfer) ist, desto geringer werden die zugeordneten Werte y (benötigte Erntetage).

Diese Beziehung ist ein typisches Merkmal für eine antiproportionale Zuordnung.

Schritt 2: Überprüfe die Art der Proportionalität und bestimme den konstanten Wert

Überprüfe, ob tatsächlich eine antiproportionale (indirekt proportionale) Zuordnung vorliegt, indem du das Produkt \(p=x\cdot y\) bildest.

Bei antiproportionalen Zuordnungen besitzt das Produkt aus Ausgangswert und zugeordnetem Wert immer den gleichen Wert. Man sagt, die Wertepaare sind produktgleich.

\(p=x\cdot y\)

  • Für \(x=4\) gilt: \(p=4\cdot5=20\)
  • Für \(x=5\) gilt: \(p=5\cdot4=20\)
  • Für \(x=10\) gilt: \(p=10\cdot2=20\)

Die Produkte der Wertepaare besitzen alle den gleichen Wert. Die Zuordnung verhält sich antiproportional und der konstante Wert ist \(p=20\).

Lösung

a) Die Zuordnung ist proportional und der Proportionalitätsfaktor ist \(q=40\).

b) Die Zuordnung ist antiproportional (indirekt proportional) und der Proportionalitätsfaktor ist \(p=20\).

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