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Lexikon Mathe

Änderungsrate

Die Ableitung einer Funktion kann man als ihre Änderungsrate interpretieren, wie sich direkt an dem Differenzenquotienten bzw. an dessen Grenzwert, dem Differenzialquotieten ablesen lässt:

\(\displaystyle f'(x_0) = \lim_{x \to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} = \lim_{x \to x_0}\frac{\Delta f(x)}{\Delta x} = \frac{\text d f(x)}{\text d x}\)

Der Differenzen- bzw. Differenzialkoeffizient ist definiert als das Verhältnis aus Änderung der Funktionswerte (\(\Delta f(x)\) bzw. df(x)) und Änderung der x-Werte (\(\Delta x\) bzw. dx). Je größer aber \(\Delta f(x)\) bei festem \(\Delta x\) ist, desto schneller ändern sich die Funktionswerte.

Wenn die unabhängige Variable für die Zeit t steht, also z. B. beim physikalischen Problem einer gleichmäßigen oder beschleunigten Bewegung, dann spricht man oft von einer momentanen Änderungsrate\(\displaystyle \frac{\text d s(t)}{\text d t} = v(t)\). DIese gibt dann z. B. an, wie stark sich die zurückgelegte Strecke s zu einem Zeitpunkt t gerade ändert – also wie schnell die Bewegung gerade ist bzw. wie groß die momentane Geschwindigkeit \(v(t)\) ist. Die Durchschnittsgeschwindigkeit entspricht dagegen einem Differenzenquotienten, nämlich der Differenz aus dem insgesamt zurückgelegtem Weg \(\Delta s\) und der dafür benötigten Zeit \(\Delta t\).

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