Volumen – Lernwege
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Was ist ein Kegelstumpf und ein Pyramidenstumpf?
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Was sind Volumeneinheiten?
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Volumen – Klassenarbeiten
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In einen BMX-Parcours wird eine Sprungschanze eingebaut, deren seitliches Profil durch den Graphen der Funktion \(f\) mit der Gleichung \(f(x)=-\frac{1}{50}x^3 + \frac{3}{4}x;\quad -8 \leq x \leq 0\) gegeben ist. (Die Funktion \(f\) ist für alle \(x\in \mathbb R\) definiert, wird aber nur für \(-8 \leq x \leq 0\) zur Modellierung verwendet.) Dabei werden sowohl \(x\) als auch \(f(x)\) als Maßzahlen zur Einheit \(1\,\text{m}\) aufgefasst. Der Funktionsgraph von \(f\) ist in Abbildung 1 dargestellt. Die Sprungschanze wird ausgehend vom Startpunkt \(S\) von links nach rechts durchfahren
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Eine Firma baut Sprungschanzen für BMX-Fahrer in verschiedenen Formen, deren seitliches Profil jeweils durch den Graphen einer Funktion \(f_a\) mit der Gleichung \(f_a(x)= - \frac{1}{4 \cdot a^2}x^3 + \frac{3}{4}x;\quad -8 \leq x \leq 0\) beschrieben wird, mit \(3,2 \leq a \leq 4\) ( \(x\) , \(a\) und \(f_a(x)\) in Metern). Die Funktionen \(f_a\) sind für alle \(c \in \mathbb{R}\) definiert, werden aber nur für \(-8 \leq x \leq 0\) zur Modellierung verwendet. Die Sprungschanzen werden ausgehend vom Startpunkt \(S_a(-8|f_a(-8))\) von links nach rechts durchfahren und so eingebaut, dass
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Volumen – Lexikoneinträge
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Das Cavalieri-Prinzip (nach dem italienischen Mathematiker Bonaventura Cavalieri ) besagt, dass sich das Volumen eines Körpers nicht ändert, wenn man einzelne parallele, inhaltsgleiche Schichten gegeneinander verschiebt (in ähnlicher Weise bleibt auch die Fläche eines Parallelogramms gleich, wenn man die parallelen Seiten gegeneinander verschiebt). Ein einfaches Beispiels ist ein Kartenstapel: Ob die Karten säuberlich gestapelt oder durch einen Stoß oder Dreh verformt sind – an seinem Volumen ändert dies nichts. Etwas formaler kann man das Cavalieri-Prinzip auch folgendermaßen ausdrücken: Zwei...
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Eine Pyramide ist im Allgemeinen ein Polyeder , das aus einem Polygon , der sog. Grundfläche , besteht, dessen Ecken alle mit einem gemeinsamen Endpunkt, der Spitze der Pyramide, verbunden sind. Diese Verbindungslinien werden manchmal Seitenkanten oder Mantelinien genannt. Das Lot von der Spitze auf die Grundfläche ist die Höhe h der Pyramide. Die Seitenflächen sind alle Dreiecke. Zusammengenommen bilden die Seitenflächen die Mantelfläche . Man kann eine Pyramide auch als „eckigen Kegel “ auffassen; das Volumen einer beliebigen Pyramide berechnet sich nach der gleichen Faustformel wie beim...
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Die Raumgeometrie ( Stereometrie ) ist der Teil der Geometrie , der sich mit räumlichen, d. h. dreidimensionalen Objekten ( Körpern ) befasst sowie mit der Lage von zwei - und eindimensionalen Objekten (Figuren, Ebenen, Geraden und Strecken) im Raum. Bei der Untersuchung von Körpern interessieren zum einen ihr Volumen ( Rauminhalt ) und ihr Oberflächeninhalt . Bei einfachen Körpern wie Prismen , Polyedern , Zylindern , Pyramiden , Kegeln oder Kugeln lassen sich Volumen und Oberfläche mit Formeln berechnen, ebenso bei aus solchen Objekten zusammengesetzten Körpern . Volumen und Oberfläche von...
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Wenn man ein Kurvenstück einmal um eine Rotationsachse dreht, erhält man die Oberfläche eines Rotationskörpers . Beispielsweise bekommt man einen Zylinder , wenn man eine gerade Strecke um eine dazu parallele Achse dreht, und eine Kugel, wenn das Kurvenstück ein Halbkreis ist die Achse durch dessen Enden läuft (siehe unten). Das Volumen eines Rotationskörpers lässt sich durch Integration berechnen, wenn das Kurvenstück der Graph G f einer integrierbaren Funktion f ist und als Rotationsachse die x -Achse eines kartesischen Koordinatensystems gewählt wird. Man betrachtet dabei f bzw. G f im...