Ebenen – Lexikoneinträge
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Der Abstand wird in der Geometrie zunächst als die kürzestmögliche Entfernung bzw. Distanz zwischen zwei Punkten definiert. Man kann ihn mit einem Lineal messen und in einer geeigneten Längeneinheit angeben. Die Analytische Geometrie macht es möglich, Abstände zu berechnen: Und zwar definiert sie den Abstand d ( X , Y ) zwischen zwei Punkten X ( x 1 | x 2 ) und Y ( y 1 | y 2 ) als die Länge bzw. der Betrag des Differenzvektors zwischen den beiden Ortsvektoren \(\vec x = \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix}\) und \(\vec y = \begin{pmatrix} y_1 \\ y_2 \end{pmatrix}\) , also \(\displaystyle...
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Die Achsenabschnittsform ist ein Spezialfall der Koordinatenform einer Gleichung zur Beschreibung von Geraden oder Ebenen . Während die allgemeine Koordinatenform einer Ebene ax 1 + bx 2 + cx 3 = k lautet (bei einer Geraden wird im Wesentlichen die dritte Koordinate weggelassen, deswegen wird dieser Fall im Folgenden nicht extra behandelt), hat die Achsenabschnittsform die Gestalt \(ax_1 + bx_2 + cx_3 = 1 \ \Leftrightarrow \ \displaystyle \frac {x_1} s + \frac {x_2} t + \frac {x_3} u = 1\) Dabei sind die Kehrtwerte der Koeffizienten a , b und c , also die Zahlen s , t und u , die...
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Ein Aufpunkt ist ein bereits bekannter Punkt einer Gerade oder Ebene , mit dessen Hilfe man eine Gleichung für diese Gerade bzw. Ebene aufstellen kann. Dies gilt insbesondere für die Parameterform solcher Gleichungen, die nach dem Schema „Geradenpunkt gleich Aufpunkt plus skalierter Richtungsvektor “ bzw. „Ebenenpunkt gleich Aufpunkt plus skalierte Spannvektoren “ aufgebaut sind. Der Ortsvektor des Aufpunkts wird auch Stützvektor genannt.
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Eine Ebenengleichung in Dreipunkteform ist ein Spezialfall der Parameterform mit drei Aufpunkten , von denen zwei benutzt werden, um die Spannvektoren zu ermitteln. Diese Form bietet sich an, wenn man bereits drei Punkte A , B und C kennt, welche sicher in der Ebene E , aber nicht alle auf derselben Geraden liegen. Die Ortsvektoren \(\overrightarrow{a}\) , \(\overrightarrow{b}\) und \(\overrightarrow{c}\) sind dann also linear unabhängig . Es sei jetzt X sei ein beliebiger Punkt von E . Dann erhält man die Ebenengleichung von E in Parameterform, indem man z. B. \(\overrightarrow{a}\) als...
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Eine Ebenenschar E a ist eine Menge von Ebenen , die sich alle durch eine gemeinsame Gleichung beschreiben lassen, die einen zusätzlichen freien Parameter a enthält. Ein einfaches Beispiel ist die Gleichung z = a : Alle Ebenen sind parallel zur z -Ebene und haben jeweils den z -Achsenabschnitt a . Wenn alle Ebenen der Schar eine gemeinsame Schnittgerade ( Trägergerade ) g 0 haben, spricht man auch von einem Ebenenbüschel . Ein Beispiel für ein Ebenenbüschel ist die vom freien Parameter a abhängige Koordinatengleichung E a : ( a + 1) x – 2 ay + 2( a – 2) z – 1 = 0 Wenn man nach Termen mit und...
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Die Hesse’sche Normalform (nach dem Mathematiker Otto Hesse , auch Hesse’sche Normalenform , HNF ) ist ein Spezialfall der Normal(en)form und damit eine spezielle Möglichkeit, Geraden oder Ebenen durch eine Vektorgleichung darzustellen. Sie bietet sich dann an, wenn ein Normalenvektor bereits bekannt und dieser auch bereits normiert (also ein Normaleneinheitsvektor \(\vec n^0\) bzw. \(\hat n\) ) ist. Wenn eine Gerade oder Ebene den Normaleneinheitsvektor \(\hat n\) und den (senkrechten) Abstand d vom Koordinatenursprung hat, lautet die Hesse’sche Normalform der Ebenengleichung \(E: \ \ \hat...
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Die Koordinatenform ist eine Beschreibung von Geraden und Ebenen durch eine lineare Gleichung in den zwei bzw. drei Koordinaten des Koordinatensystems . Bei einer Geraden mit den Koordinaten x und y lautet diese Gleichung ax + by = k bei einer Ebene (Koordinaten x , y und z ) ax + by + cz = k Die Koeffizienten a , b (und c ) sind dabei die Komponenten eines Normalenvektors \(\vec n = \begin{pmatrix} a \\ b\\c \end{pmatrix}\) , also eines Vektors, der senkrecht auf der Geraden bzw. Ebene steht. Man kann daher sehr einfach von der Koordinatenform zur Normalform gelangen, indem man nämlich...
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Mit dem Begriff „ Lagebeziehung “ fasst man man in der Geometrie die Fragen nach Parallelität , Orthogonalität und gemeinsamen Punkten (Schnittpunkten bzw. -geraden) von Objekten zusammen. Während dies in der Ebene (also der zweidimensionalen Geometrie) oft noch relativ leicht zu beantworten ist (im Zweifelsfall mithilfe der Winkelfunktionen ), braucht man im Raum dafür die Mittel der Analytischen Geometrie . Im Einzelnen betrachtet man Die Lage zweier Geraden : Wenn zwei Geraden keine gemeinsamen Punkte haben, sind sie parallel oder windschief , andernfalls haben sie entweder genau einen...
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Die Normalform (auch Normalenform ) ist eine Möglichkeit, Geraden oder Ebenen durch eine Vektorgleichung darzustellen. Sie bietet sich dann an, wenn bereits ein Normalenvektor bekannt ist. Hat eine Gerade oder Ebene den Normalenvektor \(\vec n\) , dann gilt für alle Punkte der Gerade bzw. der Ebene \(\vec n \circ \vec x = k\) denn der Normalenvektor steht definitionsgemäß auf allen Punkten der Geraden bzw. Ebene gleichermaßen senkrecht, also ist das Skalarprodukt mit ihm für alle Punkte bzw. deren Ortsvektoren gleich groß. Eine alternative Form verwendet einen Aufpunkt ( Stützvektor ) \(\vec...
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Die Parameterform ist eine Möglichkeit, Geraden oder Ebenen durch eine Vektorgleichung darzustellen. Dabei ist in der Regel ein Punkt bekannt, der Aufpunkt , sowie ein Richtungsvektor der gesuchten Geraden bzw. zwei Spannvektoren der gesuchten Ebene. Man sagt daher manchmal auch „ Punkt-Richtungs-Form “ zu dieser Darstellung. Man kann eine Ebenengleichung in Parameterform relativ einfach in die Koordinatenform umwandeln (für Geraden funktioniert das ganz ähnlich, nur mit einer Komponente weniger). Beispiel: Eine Gerade g wird beschrieben durch den Aufpunkt A , zu dessen Ortsvektor \(\vec a\) ...
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Eine Punktprobe klärt in der Analytischen Geometrie die Frage, ob ein bestimmter Punkt auf einer Geraden oder in einer Ebene liegt. Dies lässt sich relativ leicht beantworten, indem man die Koordinaten des Punkts in die Geraden - bzw. Ebenengleichung einsetzt. Beispiel: Ebenengleichung in Koordinatenform: P (3|–1,5|2), E : x + 2 y = 0 Einsetzen: 3 – 2 · 1,5 = 3 – 3 = 0. Dies ist eine wahre Aussage, also liegt P in der Ebene E . In der Analysis spricht man manchmal auch von einer Punktprobe, wenn geprüft werden soll, ob ein Punkt auf einem Funktionsgraphen liegt.
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Bei der Darstellung einer Geraden in Punkt-Richungs-Form ( Parameterform ) \(g: \vec x = \vec p+\lambda \cdot \vec v\) ist der Vektor \(\vec v\) der Richtungsvektor , der (eventuell bis auf das Vorzeichen) in dieselbe räumliche Richtung zeigt wie die Gerade. Jeder Punkt \(\vec x\) auf der Geraden ist die Vektorsumme aus dem Aufpunkt oder Stützvektor \(\vec p\) und einem positiven oder negativen skalaren Vielfachen des Richtungsvektors. Bei der Darstellung einer Ebene gibt es zwei Richtungsvektoren, die man dann meistens Spannvektoren nennt. Es gibt noch eine andere Bedeutung des Wortes...