Der Wurf ist die Bewegung eines Körpers durch ein Schwerefeld (üblicherweise das der Erde), die mit einer Anfangsgeschwindigkeit \(\vec v_0\) beginnt. Bei Vernachlässigung des Luftwiderstands (s. u.) überlagern sich beim Wurf zwei Bewegungen:
- eine gleichförmig-geradlinige Bewegung in Richtung von \(\vec v_0\)
- ein freier Fall, d. h. eine beschleunigte Bewegung nach unten, wobei die Beschleunigung gleich der Fallbeschleunigung \(\vec g\) ist.
Je nach Richtung von \(\vec v_0\) kann man drei Fälle unterscheiden (wählt man die x-Achse in Richtung von \(\vec v_0\) und die y-Achse parallel zu \(\vec g\), also vertikal, kann man in allen Fällen zweidimensional rechnen).
Senkrechter Wurf
Beim senkrechten Wurf stehen \(\vec v_0\) und \(\vec g\) (anti)parallel in y-Richtung und man kann sogar eindimensional rechnen (also ganz ohne Vektoren). Es gelten die folgenden Weg-Zeit- und Geschwindigkeit-Zeit-Gesetze (wenn der Startpunkt bei y = 0 gesetzt wird):
\(s_\text{Wurf}(t) = v_0 \cdot t\)
\(s_\text{Fall}(t) = - \dfrac g 2 \cdot t^2\)
\(s(t) = s_\text{Wurf}(t) + s_\text{Fall}(t) = v_0 t- \dfrac g 2 t^2\)
Die Fallbewegung ist dabei immer nach unten gerichtet (daher das Minuszeichen), v0 ist beim Wurf nach oben positiv, beim Wurf nach unten negativ.
Schiefer Wurf
Im allgemeinen Fall stehen die Vektoren \(\vec v_0\) und \(\vec g\) in einem beliebigen Winkel \(\alpha\) zueinander (\(0 < \alpha < 90°\), für \(\alpha = 0\) s. u.).
Im Folgenden sei die Startposition immer bei x = y = 0, der Wurf erfolgt also vom Erdboden aus. Die Komponente von \(\vec v_0\) sind
\(\vec v_{0,\, x} = v_0 \cos \alpha; \quad \vec v_{0,\, y} = v_0 \sin \alpha\)
Die Weg-Zeit- und Geschwindigkeit-Zeit-Gesetze lauten nun:
\(\begin{matrix} x(t) = v_0 t \cdot \cos \alpha;\quad \quad & y(t) = v_0 t \cdot \sin \alpha - \dfrac g 2 t^2 \\ v_x(t) = v_{0,\, x} = v_0 \cdot \cos \alpha; & v_y(t) = v_0 \cdot \sin \alpha - gt \end{matrix}\)
Löst man die Gleichung für x(t) nach der Zeit t auf und setzt das Ergebnis in die Gleichung für y(t) ein, so ergibt sich als allgemeine Bahnkurve eines (ohne Luftwiderstand) vom Koordinatenursprung aus geworfenen Körpers die Wurfparabel:
\(y(t) = - \dfrac g {2v_0^2 \cos^2 \alpha} \cdot x^2 + (\tan \alpha) \cdot x\)
Steigzeit ts und Wurfhöhe ymax ergeben sich im Prinzip wie beim senkrechten Wurf:
\(\qquad 0 = v_0 \sin \alpha - gt \Rightarrow t_\text s = \dfrac {v_0} g \sin \alpha \\ \Rightarrow y_\text{max} = y(t_\text s) = \dfrac {v_0^2\sin^2 \alpha} {2g}\)
Die Wurfzeit tw ist die Zeit zwischen dem Abwurf und dem Auftreffen am Erdboden, also tw = t(y = 0), man erhält sie aus dem Weg-Zeit-Gesetz für die y-Richtung:
\(\qquad 0 = v_0 t_\text w \sin \alpha - \dfrac g 2 t_\text w^2 \quad \Rightarrow \quad t_\text w = \dfrac {2v_0} g \sin \alpha = 2 t_\text s\)
die Wurfzeit ist also doppelt so groß wie die Steigzeit – dies folgt übrigens bereits aus der Symmetrie der Wurfparabel (Abb.)!
Schließlich ist die Wurfweite
\(x_\text w = x(t_\text w) = \dfrac {2v_0^2\sin \alpha \cos \alpha} g = \dfrac {2v_0^2\sin 2\alpha} g\)
(dabei wurde der trigonometrische Lehrsatz \(\sin 2\alpha = 2\sin \alpha \cos \alpha\) benutzt). Die Wurfweite wird maximal, wenn \(\sin 2\alpha = 1\)sin 2a = 1 wird, also für \(\alpha = 45°\).
Unter Berücksichtigung des Luftwiderstands findet man, dass die Bahnkurve im abfallenden Teil steiler wird als hier berechnet, daher ist der Winkel maximaler Wurfweite in Wirklichkeit etwas größer als 45°.
Waagerechter Wurf
Ein weiterer Spezialfall des schiefen Wurfs (neben dem senkrechten Wurf) ist der Wurf mit \(\alpha = 0°\) aus einer Anfangshöhe y0. Die Bahnkurve ist dann eine Parabel, deren Scheitelpunkt bei y0 liegt:
\(y(t) = y_0 - \dfrac g {2v_0^2}\cdot x^2\)