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Ersatzkraft

9. ‐ 10. Klasse Dauer: 25 Minuten

Was ist Kräfteaddition

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Kräfteaddition

Kräfteaddition

Kräfteaddition

Wie du Kräfte addierst

Schritt-für-Schritt-Anleitung

Aufgabe

Mirjam und Benni ziehen mit je einem Seil an einem Schlitten, aber wollen in zwei verschiedene Richtungen laufen. Mirjam zieht mit einer Kraft von 75 N und Benni mit 50 N. Der Winkel zwischen den beiden ist \(\alpha = 70°\).

  1. Berechne die resultierende Kraft, auch Ersatzkraft genannt.
  2. Erkläre, was mit dieser Kraft passiert, wenn der Winkel \(\alpha\) vergrößert oder verkleinert wird.
Schlitten wird von zwei Kindern gezogen

 

    Teilaufgabe a

    Berechne die resultierende Kraft, auch Ersatzkraft genannt.

    Schritt 1: Stelle fest, was gegeben und was gesucht ist

    Schlitten mit eingezeichneter Ersatzkraft

    Lies dir die Aufgabe genau durch und schreibe dir heraus, was gegeben und was gesucht ist. Dabei merkst du, dass es zwei Kräfte und einen Winkel gibt.

    Gegeben sind:

    \(F_1 = 75 \thinspace \text{N}\)

    \(F_2 = 50 \thinspace \text{N}\)

    \(\alpha = 70° \)

    Gesucht ist:

    \(F_R\) (resultierende Kraft / Ersatzkraft)

    Um die Ersatzkraft \(F_R\) zu veranschaulichen, zeichnest du dir am besten ein Kräfteparallelogramm:

    Kräfteparallelogramm

    Schritt 2: Finde die richtige Formel

    In diesem Schritt musst du herausfinden, welche Formel du benutzen musst, um die Aufgabe zu lösen. In dieser Aufgabe brauchst du die Formel für die resultierende Kraft, denn die sollst du ja bestimmen:

    \(F_R=\sqrt{F_1^2+F_2^2+2\cdot F_1\cdot F_2\cdot \cos{\alpha}}\)

    Dabei ist:

    \(\begin{align} F_R &= \text{ resultierende Kraft / Ersatzkraft }\\ F_1 &= \text{erste Kraft} \\ F_2 &= \text{zweite Kraft} \end{align}\)

    Schritt 3: Stelle die Formel nach dem Gesuchten um 

    Nun musst du die Formel nach dem Gesuchten umstellen. In dieser Aufgabe ist die gesuchte Größe die Ersatzkraft \(F_R\). Diese resultierende Kraft ist bereits allein auf einer Seite, deshalb musst du die Formel nicht mehr umstellen:

    \(\color{red}{F_R}=\sqrt{F_1^2+F_2^2+2\cdot F_1\cdot F_2\cdot \cos{\alpha}}\)

    Schritt 4: Rechne die gegebenen Werte in die passenden Einheiten um

    Jetzt musst du prüfen, ob die gegebenen Größen in den Einheiten vorliegen, die auch in die Rechnung passen.

    Die beiden Kräfte sind in der Einheit Newton angegeben, das ist für unsere Rechnung in Ordnung.

    \(F_1 = 75 \thinspace \text{N}\)

    \(F_2 = 50 \thinspace \text{N}\)

    Der Winkel ist in Grad angegeben:

    \(\alpha = 70°\)

    Auch das ist in Ordnung, wenn du bei der Rechnung beachtest, dass dein Taschenrechner auf die Winkeleinheit Grad (deg) eingestellt ist. 

    Schritt 5: Setze die Werte in die Formel ein und rechne sie aus

    Im letzten Schritt setzt du alle gegebenen Werte in die Formel ein und rechnest das Ergebnis aus:

    \(\begin{align} \color{red}{F_R}&=\sqrt{F_1^2+F_2^2+2\cdot F_1\cdot F_2\cdot \cos{\alpha}} \\ &=\sqrt{ (75 \text{ N})^2 + (50 \text{ N})^2+2\cdot 75 \text{ N}\cdot 50 \text{ N}\cdot \cos{70°}} \\ &= \sqrt{ 5625 \thinspace\text{N}^2 + 2500 \thinspace\text{N}^2+ 2565{,}2 \thinspace\text{N}^2 } \\ &=\sqrt{10690{,}2 \thinspace\text{N}^2} \\ &= 103{,}4 \thinspace\text{N} \end{align}\)

    Bei der Einheit musst du beachten, dass Kosinus und Sinus keine Einheiten haben und dass durch das Wurzelziehen das Quadrat (oder „hoch 2“) von der Einheit Newton wegfällt. Am Ende bleibt deshalb nur Newton übrig.

    Kräfteparallelogramm mit Ergebnis

    Teilaufgabe b

    Erkläre, was mit dieser Kraft passiert, wenn der Winkel \(\alpha\) vergrößert oder verkleinert wird.

    Schritt 1: Stelle fest, was gegeben und was gesucht ist

    In dieser Teilaufgabe bleiben die Beträge der Kräfte gleich, aber der Winkel zwischen ihnen soll kleiner oder größer werden.

    Es sind also wieder die beiden Kräfte gegeben und ein Winkel \(\alpha\), der nun variabel sein soll:

    \(\begin{align}F_1 &= 75\text{ N} \\ F_2 &= 50\text{ N}\\ \alpha &= \text{variabel} \end{align}\)

    Du sollst jetzt herausfinden, was mit der resultierenden Kraft \(F_R\) passiert, wenn sich der Winkel ändert.

    Gesucht ist deshalb:

    \(F_R\)

    Schritt 2: Sammele Stichpunkte für die wichtigen Zusammenhänge

    Um herauszufinden, was bei einem deutlich kleineren und einem deutlich größeren Winkel \(\alpha\) mit der resultierenden Kraft \(F_R\) passiert, zeichnest du dir am besten für jeden Fall ein Kräfteparallelogramm.

    Kräfteparallelogramm mit kleinem Winkel

    Dort ist deutlich zu erkennen, dass bei einem kleineren \(\alpha\) die Ersatzkraft \(F_R\) größer wird. Das macht auch Sinn, denn wenn beide Kinder mehr in die gleiche Richtung ziehen, können sie gemeinsam mehr Kraft aufbringen.

    Kräfteparallelogramm mit großem Winkel

    Wenn dagegen der Winkel \(\alpha\) zwischen den beiden Kräften größer wird, dann wird die resultierende Kraft \(F_R\) kleiner. Jetzt ziehen die Kinder mehr in entgegengesetzte Richtungen und die resultierende Kraft nach vorn wird kleiner.

    Wir halten also folgende wichtigen Zusammenhänge fest:

    • Ein kleinerer Winkel \(\alpha\) sorgt für eine größere Ersatzkraft \(F_R\).
    • Ein größerer Winkel \(\alpha\) resultiert in einer kleineren Ersatzkraft \(F_R\).

    Schritt 3: Weise deine Vermutung durch eine Rechnung nach

    Deine Überlegung kannst du durch eine Beispielrechnung nachweisen. Dazu berechnest du die Ersatzkraft wie in Teilaufgabe a mit dieser Formel:

    \(\begin{align} \color{red}{F_R}&=\sqrt{F_1^2+F_2^2+2\cdot F_1\cdot F_2\cdot \cos{\alpha}} \end{align}\)

    Für den Winkel \(\alpha\) setzt du nun zuerst einen kleineren Winkel von 30° ein:

    \(\begin{align} \color{red}{F_R}&=\sqrt{F_1^2+F_2^2+2\cdot F_1\cdot F_2\cdot \cos{\alpha}} \\ &= \sqrt{ (75\text{ N})^2 + (50 \text{ N})^2 + 2\cdot 75\text{ N} \cdot 50 \text{ N} \cdot \cos{ 30°} } \\ &= \sqrt{2500 \thinspace\text{N}^2+5625 \thinspace\text{N}^2+ 6495{,}2 \thinspace\text{N}^2 } \\ &=\sqrt{14620{,}2 \thinspace\text{N}^2}\\ &= 120{,}9 \thinspace\text{N} \end{align}\)

    Anschließend wiederholst du die Rechnung für einen größeren Winkel von 140°:

    \(\begin{align} \color{red}{F_R}&=\sqrt{F_1^2+F_2^2+2\cdot F_1\cdot F_2\cdot \cos{\alpha}} \\ &= \sqrt{ (75 \text{ N})^2 + ( 50 \text{ N})^2 + 2 \cdot 75 \text{ N} \cdot 50 \text{ N} \cdot \cos{140°} } \\ &= \sqrt{5625 \thinspace\text{N}^2 + 2500 \thinspace\text{N}^2- 5745{,}3 \thinspace\text{N}^2 } \\ &=\sqrt{2379{,}7 \thinspace\text{N}^2}\\ &= 48{,}8 \thinspace\text{N} \end{align}\)

    Jetzt hast du also durch eine Rechnung gezeigt, dass die resultierende Kraft mit steigender Größe des Winkels abnimmt:

    \(\alpha\text{ in °}\) 30 70 140
    \(F_R\text{ in N}\) 120,9 103,4 48,8

    Schritt 4: Formuliere eine Antwort

    Durch eine Überlegung mit einer Skizze und eine Rechnung haben wir folgenden Zusammenhang gezeigt:

    Wenn der Winkel zwischen zwei Kräften kleiner wird, dann wird die resultierende Kraft größer. Ebenso wird die Ersatzkraft kleiner, wenn der Winkel zwischen den beiden Kräften größer wird.

    Lösung

    1. Es ergibt sich eine resultierende Kraft, auch Ersatzkraft genannt, von 103,4 Newton.
    2. Wenn der Winkel \(\alpha\) zwischen den beiden Kräften kleiner wird, dann wird die resultierende Kraft \(F_R\) größer. Wenn der Winkel \(\alpha\) dagegen größer wird, dann verringert sich die Ersatzkraft \(F_R\).