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Lexikon Mathe

Polstellen

Eine Polstelle (auch: ein Pol, eine Unendlichkeitsstelle) ist ein x-Wert, bei dem der Graph einer Funktion eine senkrechte (vertikale) Asymptote hat, also der Funktionswert gegen\(\pm\infty\) divergiert. An dieser Stelle ist die Funktion daher nicht definiert, weswegen man auch von einer Definitionslücke spricht. Allerdings gibt es auch sog. hebbare Definitionslücken, die sich stetig schließen lassen (siehe unten).

Polstellen können vor allem bei gebrochenrationalen Funktionen von der Form \(\displaystyle f(x) = \frac{Z(x)}{N(x)}\) auftreten, und zwar dann, wenn für ein bestimmtes x = x0 das Nennerpolynom N(x) eine Nullstelle hat. Nun muss man unterscheiden:

  • Das Zählerpolynom Z(x) hat bei x0keine Nullstelle. Dann ist eine k-fache Nullstelle des Nennerpolynoms eine k-fache Polstelle; bei ungeradem k (also insbesondere bein einer einfachen Nullstelle) findet ein Vorzeichenwechsel statt, bei geradem k nicht.
    Beispiele:
    \(\displaystyle f(x) = \frac{3x+1}{x^2-1} = \frac{3x+1}{(x-1)(x+1)}\), N(x) hat zwei einfache Nullstellen bei x0;1 = –1 und x0;2 = +1, also zwei („ungerade“) Polstellen mit Vorzeichenwechsel.
    \(\displaystyle g(x) = \frac{0,5x}{x^2-2x+1} = \frac{0,5x}{(x-1)^2}\)N(x) hat eine doppelte Nullstelle x0 = +1, also eine doppelte („gerade“) Polstelle ohne Vorzeichenwechsel.
  • Das Zählerpolynom Z(x) hat bei x0 eine j-fache Nullstelle. Wenn j < k ist, kürzen sich die Zählernullstellen gegen die Nennernullstellen weg und es bleibt wiederum eine Polstelle übrig. Wenn dagegen \(j \ge k\)  ist, kürzen sich die Nenner-Nullstellen weg und die Funktion kann an x0 stetig fortgesetzt werden.
    Beispiel:
    \(\displaystyle h(x) = \frac{2x^2-2}{x-1} = \frac{2(x-1)(x+1)}{(x-1)}\)N(x) hat eine einfache Nullstelle bei x0 = +1, die aber ebenso eine Nullstelle des Zähler ist. Es ist daher in ganz Df h(x) = 2(x + 1) und die „Lücke“ im Definitionsbereich kann durch h(1) = 4 geschlossen bzw. gehoben werden.
Achtung: Auch wenn man eine Definitionslücke auf diese Weise schließen kann, ist die ursprüngliche gebrochenrationale Funktion an dieser Stelle nicht definiert, da ihr Nenner 0 wäre!
Polstellen - Abbildung 1
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