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Lexikon Mathe

Periodische Funktionen

Eine Funktion \(f\!: x \mapsto f(x) \ \ (x\in D_f)\) heißt periodisch, wenn es eine von 0 verschiedene Zahl p gibt, sodass für alle \(x\in D_f\) gilt:

Mit x ist auch x + p in Df und es ist f(x + p) = f(x).

p ist dann die Periode dieser Funktion.

Beachte: Wenn es eine Periode p gibt, dann hat die entsprechende Funktion gleich unendliche viele Perioden, denn jede Zahl k · p mit \(k \in \mathbb{Z}\)  erfüllt die Periodizitätsbedingung genauso. Jede periodische Funktion besitzt somit unendlich viele Perioden. Meist gibt man zu einer Funktion ihre kleinste positive Periode an. 

Beispiel:
\(f:x \mapsto \sin x, \ x\in \mathbb{R}\) ist periodisch mit der Periode \(p=2\pi\), denn es ist \(\sin(x+2\pi)=\sin x\) für alle \(x\in \mathbb{R}\)

\(4\pi\) ist ebenfalls eine Periode von f\(\sin (x+4\pi) = \sin x\).

Periodische Funktionen - Abbildung 1

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