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Winkelsätze und Winkelsummen (1)


Aufgabe 1

Bestimme alle fehlenden Winkelgrößen in der folgenden Figur mit \(\alpha= 94°\) und \(\gamma=36°\). Welche Winkel ergeben mit \(\delta\) ein Nebenwinkelpaar?

Winkelsätze und Winkelsummen (1) - Abbildung 1

Lösung

 \(\beta=180°-(94°+36°)=50°\)

  \(\delta=\alpha= 94°\)

  \(\epsilon=\beta= 50°\)

  \(\zeta=\gamma= 36°\)

Definierst du \((\beta+\gamma):= \delta'\) und \((\epsilon+\zeta):=\delta''\), dann sind \(\delta'\) und \(\delta''\) die Nebenwinkel von \(\delta\).

 

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  • Schwierigkeitsgrad:  1
  • Zeit:  6 Minuten
  • Punkte:  4

Aufgabe 2

Gibt in der folgenden Figur alle Scheitelwinkelpaare, Nebenwinkelpaare, Wechselwinkelpaare und Stufenwinkelpaare an, die den Winkel \(\gamma\) enthalten. Berechne außerdem alle fehlenden Winkelgrößen unter der Bedingung, dass \(\omega=2\cdot\alpha\) gilt. Beachte, dass die Geraden g und h parallel zueinander liegen.

Winkelsätze und Winkelsummen (1) - Abbildung 2

Lösung

\(\gamma\) und \(\alpha\) bilden ein Scheitelwinkelpaar.

\(\gamma\) und \(\beta\) bilden ein Nebenwinkelpaar.

\(\gamma\) und \(\delta\) bilden ein Nebenwinkelpaar.

\(\gamma\) und \(\eta\) bilden ein Stufenwinkelpaar.

\(\gamma\) und \(\epsilon\) bilden ein Wechselwinkelpaar.

 

\(\alpha\) und \(\epsilon\) bilden ein Stufenwinkelpaar und sind somit gleich groß.

\(\epsilon\) und \(\omega\) bilden ein Nebenwinkelpaar und ergänzen sich somit zu 180°.

\(3\cdot\alpha=180° \Rightarrow \alpha=60°\)

\(\omega=2\cdot60°=120°\)

\(\gamma=\alpha=60°\)

\(\beta=180°-\gamma=120°\)

\(\delta=180°-\gamma=120°\)

\(\eta=\gamma=60°\)

\(\epsilon=\gamma=60°\)

\(\zeta=\omega=120°\)

 

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  • Schwierigkeitsgrad:  1
  • Zeit:  7 Minuten
  • Punkte:  5

Aufgabe 3

Ergänze alle fehlenden Angaben in der Tabelle.

\(\alpha\) \(\beta\) \(\gamma\) \(\delta\) \(\epsilon\) Winkelsumme n-Eck (ja/nein) Anzahl der Ecken
64° 37° 79°  x  x      
102°   96° 43°  x   ja 4
36° 47° 99°  x  x      
102° 86° 103°   104°   ja  

 

Lösung

\(\alpha\) \(\beta\) \(\gamma\) \(\delta\) \(\epsilon\) Winkelsumme n-Eck (ja/nein) Anzahl der Ecken
64° 37° 79°  x  x 180° ja 3
102° 119° 96° 43°  x 360° ja 4
36° 47° 99°  x  x 182° nein x
102° 86° 103° 145° 104° 540° ja 5

 

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  • Schwierigkeitsgrad:  1
  • Zeit:  9 Minuten
  • Punkte:  6

Aufgabe 4

Berechne den Winkel \(\alpha\).

Winkelsätze und Winkelsummen (1) - Abbildung 3

Lösung

Winkelsätze und Winkelsummen (1) - Abbildung 4

In dem rechten unteren Teildreieck befindet sich ein 90°-Winkel und ein 50°-Winkel. Den dritten Innenwinkel x erhälst du mithilfe des Winkelsummensatzes \( x=40°\).

Dieser 40°-Winkel bildet mit dem anliegenden Innenwinkel des Nachbardreiecks einen 90°-Winkel. Du kannst somit diesen Winkel y bestimmen: \(y=90°-40°=50°\).

Der Winkel \(\alpha\) bildet mit diesem 50°-Winkel ein Nebenwinkelpaar: \(\alpha=180°-50°=130°\).

 

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  • Schwierigkeitsgrad:  2
  • Zeit:  7 Minuten
  • Punkte:  4

Aufgabe 5

Bestimme alle fehlenden Innenwinkel. Die Geraden g und h sind Symmetrieachsen der Figur.

Winkelsätze und Winkelsummen (1) - Abbildung 5

Lösung

Der Innenwinkel bei B ist gleich groß wie der Innenwinkel bei F. Er beträgt also 128°.

Der Innenwinkel bei C ist gleich groß wie der Innenwinkel bei F. Er beträgt also 128°.

Der Innenwinkel bei E ist gleich groß wie der Innenwinkel bei F. Er beträgt also 128°.

 

\(x+128°+128°+x+128°+128°=720°\) \(\Rightarrow 2\cdot x=720°-512 \Rightarrow 2\cdot x=208° \Rightarrow x=104°\)

 

Der Innenwinkel bei A beträgt 104°. Der Innenwinkel bei D beträgt ebenfalls 104°.

 

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  • Schwierigkeitsgrad:  2
  • Zeit:  6 Minuten
  • Punkte:  4

Aufgabe 6

  1. Zeige, dass in dem folgenden Dreieck die Summe der Außenwinkel 360° beträgt.
  2. Zeige, dass der Außenwinkel \(\beta'\) gleich groß ist, wie der Summe der Innenwinkel von \(\alpha\) und \(\gamma\).

Winkelsätze und Winkelsummen (1) - Abbildung 6

Lösung

a)

Die Winkel \(\alpha\) und \(\alpha'\), \(\beta\) und \(\beta'\), \(\gamma\) und \(\gamma'\) bilden Nebenwinkelpaare. Sie ergänzen sich jeweils zu 180°. Die Summe der Innenwinkel \(\alpha, \beta, \gamma\) beträgt ebenfalls 180°.

Die Summe der Außenwinkel kannst du bestimmen, indem du von der Summe der Nebenwinkelpaare die Innenwinkel des Dreiecks subtrahierst.

\((\alpha+\alpha')+(\beta+\beta')+(\gamma+\gamma')-(\alpha+\beta+\gamma)=180°+180°+180°-180°\)

\(\alpha-\alpha+\alpha'+\beta-\beta+\beta'+\gamma-\gamma+\gamma'=540^-180°\)

\(\Rightarrow\alpha'+\beta'+\gamma'=360°\)

b)

Aus der Figur kannst du zwei Bedingungen ablesen:

1. \(\beta' \) und \(\beta\) bilden ein Nebenwinkelpaar und ergänzen sich zu 180°.

2. Die Summe der Innenwinkel \(\alpha, \beta,\gamma\) ergibt ebenfalls 180°.

\(\beta+\beta'=180°\) und \(\alpha+\beta+\gamma=180°\)

\(\Rightarrow \beta+\beta'=\alpha+\beta+\gamma\)

\(\Rightarrow\beta'=\alpha+\beta+\gamma-\beta\)

\(\Rightarrow\beta'=\alpha+\gamma\)

 

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  • Zeit:  10 Minuten
  • Punkte:  7
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