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Wahrscheinlichkeitsrechnung (2)


Aufgabe 1

Zwei Würfel werden geworfen. Die Würfel haben folgende Netze:

Wahrscheinlichkeitsrechnung (2) - Abbildung 1Wahrscheinlichkeitsrechnung (2) - Abbildung 2

  1. Welche Augensumme ist am wahrscheinlichsten? Gib die Wahrscheinlichkeit an.
  2. Wie wahrscheinlich ist ein Pasch?
  3. Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist die Augensumme höchstens 4?

Aufgabe 1a.

Welche Augensumme ist am wahrscheinlichsten? Gib die Wahrscheinlichkeit an.

Schritt 1: Vorüberlegung

Das zweimalige Würfeln eines Würfels ist ein Laplace-Experiment. Du musst die Laplace-Formel \(P=\frac{\text{Anzahl der günstigen Elementarereignisse}}{\text{Anzahl der möglichen Elementarereignisse}}\) benutzen.

Insgesamt gibt es \(6 \cdot 6=36\) Elementarereignisse. Zähle, wie viele davon auf die unterschiedlichen Augensummen entfallen. Anschließend musst du die Wahrscheinlichkeiten der Augensummen bestimmen.

Schritt 2: Wahrscheinlichkeiten der Augensummen bestimmen

\(P(\text{Augensumme 2})=\frac{6}{36}=\frac{1}{6}\)

\(P(\text{Augensumme 3})=\frac{7}{36}\)

\(P(\text{Augensumme 4})=\frac{13}{36}=0,36\)

\(P(\text{Augensumme 5})=\frac{7}{36}\)

\(P(\text{Augensumme 6})=\frac{3}{36}=\frac{1}{12}\)

Die Augensumme 4 ist am wahrscheinlichsten.

Schritt 3: Antwortsatz

Die Augensumme 4 ist am wahrscheinlichsten und kommt mit einer Wahrscheinlichkeit von rund 36 % vor.

Aufgabe 1b.

Wie wahrscheinlich ist ein Pasch?

Schritt 1: Vorüberlegung

Du musst wieder die Laplace-Formel \(P=\frac{\text{Anzahl der günstigen Elementarereignisse}}{\text{Anzahl der möglichen Elementarereignisse}}\) benutzen. Zähle, wie viele von den Elementarereignissen auf einen Pasch entfallen. Berechne anschließend die Wahrscheinlichkeit, einen Pasch zu würfeln.

Schritt 2: Wahrscheinlichkeit bestimmen

\(P(\text{Pasch})=\frac{11}{36}=0,31\)

Schritt 3: Antwortsatz

Ein Pasch kommt mit einer Wahrscheinlichkeit von rund 31 % vor.

Aufgabe 1c.

Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist die Augensumme höchstens 4?

Schritt 1: Vorüberlegung

Augensumme höchstens 4 bedeutet, dass alle Augensummen zwischen 2 und 4 infrage kommen. Du musst die Wahrscheinlichkeiten P(Augensumme 2) bis P(Augensumme 4) addieren.

Schritt 2: Wahrscheinlichkeit bestimmen

\(P(\text{Augensumme höchstens 4})=P(\text{Augensumme 2}) + P(\text{Augensumme 3})+ P(\text{Augensumme 4})\)

\(P(\text{Augensumme höchstens 4})= \frac{6}{36}+\frac{7}{36}+\frac{13}{36}=\frac{26}{36}=0,72\)

Schritt 3: Antwortsatz

Die Wahrscheinlichkeit, dass die Augensumme höchstens 4 beträgt, ist rund 72 %.

  • Schwierigkeitsgrad:  1
  • Zeit:  8 Minuten
  • Punkte:  6

Aufgabe 2

Eine Zeitungsredaktion mit 5 Journalisten und einem Redakteur geht immer zum Mittagessen in eine Pizzeria und setzt sich an einen Tisch mit 6 Stühlen. Leider können sie sich nie über die Sitzordnung einigen, da keiner von ihnen an der Tür zur Küche sitzen will. Der Wirt ist genervt und macht folgendes Angebot: Die Zeitungsleute sollen jedes Mal die Sitzordnung verändern. Wenn sie alle möglichen Sitzordnungen einmal durchprobiert haben, bekommen sie ein komplettes Essen mit Getränken gratis. Wie viele Sitzkombinationen müssen sie ausprobieren? Was hältst du von diesem Angebot?

Schritt 1: Vorüberlegung

Die 6 Zeitungsleute besetzen jedes Mal alle 6 Plätze, wobei auf einem Platz natürlich nur ein Mensch sitzen kann. Das entspricht dem Ziehen aus einer Urne unter Berücksichtigung der Reihenfolge, ohne Zurücklegen. Du berechnest die Sitzkombinationen mit n! (Fakultät).

Schritt 2: Sitzkombinationen berechnen

Es gibt \(6!=6 \cdot5 \cdot\ ...\ \cdot2 \cdot1=720\) Sitzkombinationen.

Schritt 3: Interpretation

Wenn die Gruppe wirklich jeden Tag in die Pizzeria gehen würde, bräuchte sie fast 2 Jahre: 720 : 365 = 1,97.

Berücksichtigt man noch die Wochenenden und die Urlaubszeit, so verlängert sich die Zeit auf über 3 Jahre: 720 : 225 = 3,2.

Schritt 4: Antwortsatz

Es gibt 720 Sitzkombinationen. Die Zeitungsgruppe braucht 2 bis 3 Jahre, um alle Sitzkombinationen durchzuprobieren. Das Angebot ist eher ein gutes Geschäft für die Pizzeria.

  • Schwierigkeitsgrad:  1
  • Zeit:  6 Minuten
  • Punkte:  3

Aufgabe 3

Von einem Zufallsexperiment sind folgende Wahrscheinlichkeiten bekannt:

\(P(A)=0,5\)
\(P(B)=0,4\)
\(P(\overline A \cap \overline B)=0,2\)

Berechne die Wahrscheinlichkeiten \(P( \overline{A})\), \(P( \overline{B})\)\(P(A \cap B)\) und \(P(A \cup B)\) mithilfe einer Vierfeldertafel.

Schritt 1: Vorüberlegung

Stelle die Vierfeldertafel nach dem folgenden Schema auf und übertrage die Angaben aus der Aufgabenstellung.

 

    \(A\)

         \(\overline{A}\)

Summe

\(B\)

\(A \cap B\)

\(\overline{A} \cap B\)

 

\(\overline{B}\)

\(A \cap \overline B\)

\(\overline{A} \cap \overline B\)

 

Summe

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Du musst anschließend die freien Felder so ausfüllen, dass in der Randspalte bzw. Randzeile die Summen der Zahlenwerte aus der Vierfeldertafel stehen.

Schritt 2: Vierfeldertafel aufstellen

 

    \(A\)

     \(\overline{A}\)

Summe

\(B\)

\(A \cap B\)

\(\overline{A} \cap B\)

0,4

\(\overline{B}\)

\(A \cap \overline B\)

0,2

 

Summe

0,5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

    \(A\)

     \(\overline{A}\)

Summe

\(B\)

0,1

0,3

0,4

\(\overline{B}\)

0,4

0,2

0,6

Summe

0,5

0,5

1

 

 

 

 

 

 

 

 

Schritt 3: Wahrscheinlichkeiten bestimmen

\(P( \overline{A})=0,5\)

\(P( \overline{B})=0,6\)

\(P(A \cap B)=0,1\)

\(P(A \cup B)= 0,4+0,1+0,3=0,8\)

  • Schwierigkeitsgrad:  1
  • Zeit:  8 Minuten
  • Punkte:  6

Aufgabe 4

Dr. Haus hat einen Test zur Feststellung einer Krankheit entwickelt. Dieser erkennt Krankheiten mit einer Wahrscheinlichkeit von \(99,5\ \%\) (d. h., der Test erkennt die Krankheit richtig) und hat bei \(99,5 \ \%\) der gesunden Probanden ein negatives Ergebnis (d. h., der Test zeigt, dass diese Krankheit hier nicht vorliegt).

Angenommen, jeder 500. Einwohner eines Landes ist erkrankt. Wie groß ist bei einem positiven Testergebnis die Wahrscheinlichkeit, die Krankheit zu haben?

Schritt 1: Vorüberlegung

Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit, dass jemand krank (k) ist, unter der Bedingung, dass das Testergebnis positiv (p) ausgefallen ist.
Positives Testergebnis bedeutet, es wird eine Krankheit angezeigt.
Diese Aufgabe löst du mit der Formel für die bedingte Wahrscheinlichkeit.

\(\begin{align}P_p(k) = \frac {P(k \cap p)}{P(p)} \end{align}\)

Schritt 2: Werte berechnen

\(\begin{align}P(k \cap p) & = \frac {1}{500} \cdot 0,995 \\ & = 0,00199 \end{align} \)

\(\begin{align}P_(p) & = P(k \cap p) + P(\overline k \cap p) \\ & = \frac {0,995}{500}+\frac {499}{500}\cdot 0,005 \\ & = 0,00698 \end{align} \)

\(\begin{align}P_p(k) = \frac {0,00199}{0,00698}=0,2851 \end{align}\)

Schritt 3: Antwortsatz

Die Wahrscheinlichkeit, dass jemand, dessen Testergebnis positiv war, tatsächlich die Krankheit hat, liegt bei 28,51 %.

  • Schwierigkeitsgrad:  2
  • Zeit:  8 Minuten
  • Punkte:  6

Aufgabe 5

Aus einer Urne mit 6 Kugeln, die von 1 bis 6 nummeriert sind, wird eine Kugel gezogen.

  1. Zeige, dass die Ereignisse A = {Zahl hat mindestens den Wert 4} und B = {Zahl ist Teiler von 25} voneinander stochastisch unabhängig sind.
  2. Gib ein mögliches Ereignis C an, für das \(P(C)=\frac{2}{3}\) gilt und das von A ebenfalls stochastisch unabhängig ist.

Aufgabe 5a.

Zeige, dass die Ereignisse A = {Zahl hat mindestens den Wert 4} und B = {Zahl ist Teiler von 25} voneinander stochastisch unabhängig sind.

Schritt 1: Vorüberlegung

Zwei Ereignisse A und B sind voneinander stochastisch unabhängig, wenn für A und B gilt: \(P(A) \cdot P(B)= P(A\cap B)\). Du musst also die Wahrscheinlichkeiten \(P(A)\), \(P(B)\) und \( P(A\cap B)\) bestimmen und in die Gleichung einsetzen.

Schritt 2: Wahrscheinlichkeiten bestimmen

\(P(A)=P(\text{{4; 5; 6}})=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}\)

\(P(B)=P(\text{{1; 5}})=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}\)

\(P(A \cap B)=P(\text{{5}})=\frac{1}{6}\)

Schritt 3: Unabhängigkeit prüfen

\(P(A) \cdot P(B)=\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3}=\frac{1}{6}= P(A\cap B)\)

Aufgabe 5b.

Gib ein mögliches Ereignis C an, für das \(P(C)=\frac{2}{3}\) gilt und das von A ebenfalls stochastisch unabhängig ist.

Schritt 1: Vorüberlegung

Die Ereignisse A und C sind voneinander stochastisch unabhängig, wenn für A und C gilt: \(P(A) \cdot P(C)= P(A\cap C)\). Da du die Wahrscheinlichkeiten \(P(A)=\frac{1}{2}\) und \(P(C)=\frac{2}{3}\) schon kennst, kannst du \( P(A\cap C)\) berechnen und weißt somit, wie viele Elemente die Ereignisse A und C gemeinsam haben.

Das Ereignis C muss 4 Elemente enthalten.

Schritt 2: Wahrscheinlichkeit bestimmen

\(P(A) \cdot P(C)=\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3}=\frac{2}{6}= P(A\cap C)\) \(\Rightarrow {A \cap C} \) muss 2 Elemente enthalten.

Schritt 3: Ereignis C angeben

Das Ereignis C muss 4 Elemente und das Ereignis \( {A \cap C} \) muss 2 Elemente enthalten. Das könnte z. B. das Ereignis C = {2; 3; 4; 5} sein.

  • Schwierigkeitsgrad:  2
  • Zeit:  8 Minuten
  • Punkte:  4

Aufgabe 6

Jim und Boris wollen gegeneinander Tennis spielen. Wer zuerst 2 Sätze gewonnen hat, gewinnt das Spiel. Boris hält sich für den besseren Spieler und gibt Jim einen Satz Vorsprung. Boris sagt, dass jetzt die Chancen 50 : 50 seien. Von welcher Wahrscheinlichkeit für einen eigenen Satzgewinn geht Boris aus?

Schritt 1: Vorüberlegung

Fertige ein Baumdiagramm an. Wähle für die Gewinnwahrscheinlichkeit von Boris p und für die Gewinnwahrscheinlichkeit von Jim (1 – p). Bestimme dann die Wahrscheinlichkeit für einen Satzgewinn von Boris.

Schritt 2: Baumdiagramm

Wahrscheinlichkeitsrechnung (2) - Abbildung 3

Schritt 2: Wahrscheinlichkeit für einen Satzgewinn bestimmen

Boris gewinnt: \(p \cdot p = \frac{1}{2} \Rightarrow p=\sqrt{\frac{1}{2}}=0,71\)

Jim gewinnt: \((1-p) +p \cdot (1-p) = \frac{1}{2} \Leftrightarrow 1-p^2=\frac{1}{2} \Leftrightarrow p^2=​ \frac{1}{2} \Rightarrow ​p=\sqrt{\frac{1}{2}}=0,71\)

Beide Lösungsansätze führen auf die Wahrscheinlichkeit p = 0,71.

Schritt 3: Antwortsatz

Boris muss von einer Wahrscheinlichkeit für einen Satzgewinn von ca. 71 % ausgehen.

  • Schwierigkeitsgrad:  2 3
  • Zeit:  7 Minuten
  • Punkte:  5
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