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Wahrscheinlichkeit (1)


Aufgabe 1

Für das Schulfest hat die Schülervertretung der Schule ein Glücksrad gebaut und möchte damit Geld für die SV-Kasse einnehmen. Der Einsatz beträgt 50 Cent. Man dreht zweimal. Bei zweimal der gleichen Farbe gewinnt man 1 Euro.

  1. Gib die Wahrscheinlichkeitsverteilung für den Gewinn an.
  2. Wie groß ist der Erwartungswert des Gewinns?
  3. Viele Schüler haben sich beschwert, dass die Gewinnchancen nicht fair sind. Wie hoch müsste ein „fairer“ Einsatz sein?

Wahrscheinlichkeit (1) - Abbildung 1

Lösung

a)

Die Wahrscheinlichkeitsverteilung besteht hier nur aus 2 Fällen. Entweder gewinnt man 0,50 € bei 2 gleichen Farben oder man verliert 0,50 € bei 2 ungleichen Farben.

Die Wahrscheinlichkeit für 2 gleiche Farben beträgt:

\(\frac{1}{4}+\frac{1}{16}+\frac{1}{16}=\frac{3}{8}=0,375\)

Damit beträgt die Wahrscheinlichkeit für 2 unterschiedliche Farben:

\(\frac{5}{8}=0,625\)

Gewinn/Verlust − 0,5 + 0,5
Wahrscheinlichkeit 0,625 0,375

Du weißt nicht mehr, wie es geht? Dann schau hier.

b)

Der Erwartungswert ergibt sich aus der Summe der Produkte von Ergebnis und Wahrscheinlichkeit.

\(-\frac{1}{2}\cdot\frac{5}{8}+\frac{1}{2}\cdot\frac{3}{8}=-\frac{1}{8}\)

Der Erwartungswert beträgt also −0,125 €.

Du weißt nicht mehr, wie es geht? Dann schau hier.

c)

Aus der Gleichung für den Erwartungswert können wir den „fairen“ Einsatz (e) bestimmen.

\(-e\cdot0,625+(1-e)\cdot0,375=0 \Leftrightarrow e=0,375\)

Für ein faires“ Spiel müsste man einen Einsatz von 0,375 € verlangen.

Du weißt nicht mehr, wie es geht? Dann schau hier.

  • Schwierigkeitsgrad:  1
  • Zeit:  8 Minuten
  • Punkte:  9

Aufgabe 2

Für die Klassen- bzw. Kurssprecherwahl sollen 2 Personen durch Zufall bestimmt werden. Die 15 Namen aller Personen im Kurs, 10 Mädchen und 5 Jungen, stehen auf Zetteln in einem Kasten. Es sollen nun 2 Zettel ohne Zurücklegen gezogen werden.

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein Junge und ein Mädchen gezogen werden?

Lösung

Gesucht ist hier die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis \(E=\left\{ MJ,JM\right\}\). Im Baumdiagramm sind alle möglichen Wahrscheinlichkeiten eingetragen.

Wahrscheinlichkeit (1) - Abbildung 2

Wir lesen die entsprechenden Werte ab und berechnen mithilfe der Pfad- und Summenregel die Wahrscheinlichkeit \(P(E)\).

\(P(E)=P(MJ)+P(JM)=\frac{10}{15}\cdot\frac{5}{14}+\frac{5}{15}\cdot\frac{10}{14}=\frac{10}{21}\approx0,48\approx 48\ \%\)

Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Mädchen und ein Junge gezogen werden, beträgt 48 %.

Du weißt nicht mehr, wie es geht? Dann schau hier.

  • Schwierigkeitsgrad:  1
  • Zeit:  5 Minuten
  • Punkte:  6

Aufgabe 3

Beim Basketballtraining werfen immer 2 Spielerinnen nacheinander jeweils einen Freiwurf. Anna trifft mit einer Wahrscheinlichkeit von 40 % und Jule mit 70 %.

a) Bestimme die Wahrscheinlichkeiten, dass sie zusammen 0, 1 oder 2 Treffer erzielen.

b) Wie hoch liegt der Erwartungswert für die Treffer?

Lösung

a)

Mithilfe des erstellten Baumdiagramms lassen sich die Wahrscheinlichkeiten wie folgt berechnen.

Wahrscheinlichkeit (1) - Abbildung 3

0 Treffer:  \(0,6\cdot0,3=0,18=18\ \%\) 

1 Treffer:  \(0,4\cdot0,3+0,6\cdot0,7=0,54=54\ \%\)

2 Treffer: \(0,4\cdot0,7=0,28=28\ \%\)

Du weißt nicht mehr, wie es geht? Dann schau hier.

b)

Der Erwartungswert ergibt sich wieder aus der Summe der einzelnen Produkte aus Ergebnis und Wahrscheinlichkeit.

\(E=0\cdot0,18+1\cdot0,54+2\cdot0,28=1,1\)

Der Erwartungswert der Treffer von Anna und Jule beträgt 1,1.

Du weißt nicht mehr, wie es geht? Dann schau hier.

  • Schwierigkeitsgrad:  2
  • Zeit:  8 Minuten
  • Punkte:  8

Aufgabe 4

Gegeben ist die folgende Vierfeldertafel.

  \(E\) \(\overline{E}\)  
\(F\) \(20\ \%\) \(5\ \%\) \(25\ \%\)
\(\overline{F}\) \(50\ \%\) \(25\ \%\) \(75\ \%\)
  \(70\ \%\) \(30\ \%\) \(100\ \%\)

a) Bestimme die folgenden Wahrscheinlichkeiten:
\(P(E),\ P(F),\ P(E\cap F),\ P_E(F),\ P_F(E)\)

b) Erstelle aus der Vierfeldertafel ein Baumdiagramm.

Lösung

a)

\(P(E)=0,2+0,5=0,7\)

\(P(F)=0,2+0,05=0,25\)

\(P(E\cap F)=0,2\)

\(P_E(F)=\frac{P(E\cap F)}{P(E)}=\frac{0,2}{0,7}=\frac{2}{7}\)

\(P_F(E)=\frac{P(E\cap F)}{P(F)}=\frac{0,2}{0,25}=\frac{4}{5}\)

Du weißt nicht mehr, wie es geht? Dann schau hier und hier.

b)

Für das Baumdiagramm gibt es 2 mögliche Lösungen.

Möglichkeit 1

Wahrscheinlichkeit (1) - Abbildung 4

Möglichkeit 2

Wahrscheinlichkeit (1) - Abbildung 5

Du weißt nicht mehr, wie es geht? Dann schau hier.

  • Schwierigkeitsgrad:  1 2
  • Zeit:  12 Minuten
  • Punkte:  12

Aufgabe 5

Das Baumdiagramm stellt dar, mit welcher Wahrscheinlichkeit ein Sohn blonde Haare hat, wenn der Vater auch blond ist oder nicht blond ist.

Wahrscheinlichkeit (1) - Abbildung 6

\(V\) bedeutet, der Vater ist blond. \(\overline{V}\) bedeutet, der Vater ist nicht blond. 

Analog bedeutet dann \(S\), der Sohn ist blond, und \(\overline{S}\), der Sohn ist nicht blond.

a) Erstelle aus dem Baumdiagramm eine Vierfeldertafel.

b) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass der Sohn eines blonden Vaters blond ist?

c) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein blonder Sohn einen blonden Vater hat?

d) Untersuche \(V\) und \(\overline{S}\) auf stochastische Unabhängigkeit.

Lösung

a)

  \(V\) \(\overline{V}\)  
\(S\) \(\frac{1}{12}\) \(\frac{1}{3}\) \(\frac{5}{12}\)
\(\overline{S}\) \(\frac{3}{12}\) \(\frac{1}{3}\) \(\frac{7}{12}\)
  \(\frac{1}{3}\) \(\frac{2}{3}\) \(1\)

Du weißt nicht mehr, wie es geht? Dann schau hier.

b)

Zu bestimmen ist hier:

\(P_{V}(S)=\frac{P(V\cap S)}{P(V)}=\frac{\frac{1}{12}}{\frac{4}{12}}=\frac{1}{4}\)

Der Sohn eines blonden Vaters ist mit einer Wahrscheinlichkeit von 25 % auch blond.

c)

Zu bestimmen ist hier:

\(P_{S}(V)=\frac{P(V\cap S)}{P(S)}=\frac{\frac{1}{12}}{\frac{5}{12}}=\frac{1}{5}\)

Ein blonder Sohn hat mit 20 % Wahrscheinlichkeit einen blonden Vater.

Du weißt nicht mehr, wie es geht? Dann schau hier und hier.

d)

Es gilt:

\(P(V\cap \overline{S})=\frac{3}{12}\) und \(P(V)\cdot P(\overline{S})=\frac{1}{3}\cdot\frac{7}{12}=\frac{7}{36}\)

Daraus folgt, dass beide Ereignisse unabhägig sind.

Du weißt nicht mehr, wie es geht? Dann schau hier.

  • Schwierigkeitsgrad:  2 3
  • Zeit:  12 Minuten
  • Punkte:  10
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