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Trigonometrie, Variante (2)


Aufgabe 1

In einem rechtwinkligen Dreieck \(ABC\) sind \(\alpha = 66^°\)\(\gamma=90^°\) und \(c=\text{7,8 m}\) gegeben. Berechne die übrigen Seitenlängen und Winkel des Dreiecks. Verwende nicht den Satz des Pythagoras.

Schritt 1. Vorüberlegung

Du musst den Winkel \(\beta\) mit dem Winkelsummensatz \(\alpha+\beta+\gamma=180^°\) bestimmen. Die Seite \(a\) berechnest du mit \(sin(\alpha)=\frac{a}{c}\) und die Seite \(b\) mit \(cos(\alpha)=\frac{b}{c}\).

Schritt 2: Winkel \(\beta\) bestimmen

\(66^°+\beta+90^°=180^° \Rightarrow \beta= 24^°\)

Schritt 3: Seite \(a\) bestimmen

\(sin(66^°)=\frac{a}{\text{7,8 m}}\Rightarrow a=\text{7,8 m} \cdot sin(66^°)=\text{7,13 m}\)

Schritt 4: Seite \(b\) bestimmen

\(cos(66^°)=\frac{b}{\text{7,8 m}}\)\(\Rightarrow b=\text{7,8 m} \cdot cos(66^°)=\text{3,17 m}\)

  • Schwierigkeitsgrad:  1
  • Zeit:  7 Minuten
  • Punkte:  5

Aufgabe 2

In dem folgenden Koordinatensystem sind unterschiedliche Sinusfunktionen vom Typ \(a \cdot sin(x)\), \(sin(b \cdot x)\) und \(sin(x+c)\) eingezeichnet. Gib für die Funktionen \(f\), \(g\) und \(h\) die Funktionsgleichung an. Zum besseren Vergleich ist die Funktion \(i(x)=sin(x)\) ebenfalls eingezeichnet.

Trigonometrie, Variante (2) - Abbildung 1

Schritt 1: Vorüberlegung

\(a\) in \(a \cdot sin(x)\) verändert die Amplitude der Sinusfunktion \(sin(x)\). Die Funktion \(a \cdot sin(x)\) muss eine gestreckte oder gestauchte SInusfunktion sein. \(b\) in \(sin(b \cdot x)\) verändert die Periodendauer der Sinusfunktion \(sin(x)\). Die Funktion \(sin(b \cdot x)\) muss eine längere oder kürzere Periode haben. \(c\) in \(sin(x+c)\) verursacht eine Verschiebung auf der x-Achse.

Schritt 2: Funktionsgleichungen bestimmen

Die Funktion \(f\) ist die mit dem Faktor 2 gestreckte Sinusfunktion: \(f(x) = 2sin(x)\).

Die Funktion \(g\) ist die um 2 Einheiten in positive x-Achsenrichtung verschobene Sinusfunktion: \(g(x)=sin(x-2)\).

Die Funktion \(h\) ist die Sinusfunktion mit der Periode \(\pi\) anstatt \(2\pi\): \(h(x)=sin(2x)\).

  • Schwierigkeitsgrad:  1
  • Zeit:  6 Minuten
  • Punkte:  4

Aufgabe 3

Durch die Gleichung \(f(x)=a \cdot sin(x)\) ist eine Funktion gegeben. Der Graph von \(f\) geht durch den Punkt \(A(\frac{\pi}{6}|\frac{3}{2})\).

  1. Wie lautet die Funktionsgleichung?
  2. Der Punkt \(B(\frac{\pi}{4}|y)\) soll auf dem Graphen von \(f\) liegen. Bestimme die y-Koordinate.
  3. Der Punkt \(C(x|\frac{3\sqrt{3}}{2})\) soll auf dem Graphen von \(f\) liegen. Bestimme die x-Koordinate.

Aufgabe 3a.

Wie lautet die Funktionsgleichung?

Schritt 1: Vorüberlegung

Du musst den Punkt \(A(\frac{\pi}{6}|\frac{3}{2})\) in die Gleichung \(f(x)=a \cdot sin(x)\) einsetzen. Dann kannst du \(a\) berechnen. Du musst deinen Taschenrechner auf Bogenmaß umstellen!

Schritt 2: Funktionsgleichung bestimmen

\(f(x)=a \cdot sin(x) \Rightarrow \frac{3}{2}= a \cdot sin(\frac{\pi}{6}) \Leftrightarrow a=\frac{ \frac{3}{2}}{sin(\frac{\pi}{6})}=3\)

Schritt 3: Antwortsatz

Die Funktionsgleichung lautet \(f(x)=3 \cdot sin(x)\).

Aufgabe 3b.

Der Punkt \(B(\frac{\pi}{4}|y)\) soll auf dem Graphen von \(f\) liegen. Bestimme die y-Koordinate.

Schritt 1: Vorüberlegung

Du musst den Punkt \(B(\frac{\pi}{4}|y)\) in die Gleichung \(f(x)=3 \cdot sin(x)\) einsetzen.

Schritt 2: y-Koordinate bestimmen

\(y=3 \cdot sin(\frac{\pi}{4}) =2,12=\frac{3}{\sqrt{2}}\)

Schritt 3: Antwortsatz

Der Punkt lautet \(B(\frac{\pi}{4}|\frac{3}{\sqrt{2}})\).

Aufgabe 3c.

Der Punkt \(C(x|\frac{3\sqrt{3}}{2})\) soll auf dem Graphen von \(f\) liegen. Bestimme die x-Koordinate.

Schritt 1: Vorüberlegung

Du musst den Punkt \(C(x|\frac{3\sqrt{3}}{2})\) in die Gleichung \(f(x)=3 \cdot sin(x)\) einsetzen.

Schritt 2: x-Koordinate bestimmen

\(\frac{3\sqrt{3}}{2}=3 \cdot sin(x) \Leftrightarrow x=\frac{\pi}{3}\)

Schritt 3: Antwortsatz

Der Punkt lautet \(B(\frac{\pi}{3}|\frac{3\sqrt{3}}{2})\).

  • Schwierigkeitsgrad:  1
  • Zeit:  8 Minuten
  • Punkte:  6

Aufgabe 4

Einer der schwierigsten Anstiege bei der Tour de France ist der Weg nach L’Alpe d’Huez. Kurz vor dem Zentrum von Le Bourg-dOisans beginnt der Anstieg auf einer Höhe von 760 m. Die Zielankunft liegt auf 1850 m. Daraus ergibt sich ein zu bewältigender Höhenunterschied von 1090 m und eine durchschnittliche Steigung von 8 %. Wie viel Kilometer ist der Anstieg lang? Welche Durchschnittsgeschwindigkeit fuhr Jan Ullrich 2001? Er brauchte 40 Minuten für den Anstieg.

Schritt 1: Vorüberlegung

Du musst den prozentualen Anstieg mit dem Tangens in eine Winkelgröße überführen. Anschließend kannst du mit dem Sinus dieses Winkels die gefahrene Strecke bestimmen. Die Durchschnittsgeschwindigkeit berechnest du mit \(V=\frac{\text{Strecke}}{\text{Zeit}}\).

Schritt 2: Steigungswinkel bestimmen

8 % Anstieg: \(tan(\alpha)=0,08 \Rightarrow \alpha=4,57^°\)

Schritt 3: Strecke bestimmen

Trigonometrie, Variante (2) - Abbildung 2

\(sin(4,57^°)=\frac{1090 \text{ m}}{x} \Leftrightarrow x = \frac{1090\text{ m}}{sin(4,57)} \Rightarrow x=13.680 \text{ m}\)

Schritt 4: Durchschnittsgeschwindigkeit bestimmen

\(V=\frac{13.680\text{ m}}{40\text{ min}}= 342 \frac{m}{min}=20,52 \frac{km}{h}\)

Schritt 5: Antwortsatz

Der Anstieg ist 13,68 km lang und Jan Ullrich fuhr ihn 2001 mit 20,5 Kilometern pro Stunde hoch.

  • Schwierigkeitsgrad:  2
  • Zeit:  8 Minuten
  • Punkte:  5

Aufgabe 5

Ein Schiff peilt auf seinem Kurs von drei Punkten aus einen Turm an.

  1. Wie weit ist es bei Punkt \(B\) vom Turm entfernt?
  2. Wie lang ist die Strecke \(\overline{AC}\)?

Trigonometrie, Variante (2) - Abbildung 3

Aufgabe 5a.

Wie weit ist es bei Punkt \(B\) vom Turm entfernt?

Schritt 1: Vorüberlegung

In dem Dreieck ABT (Turm) sind zwei Winkel und eine Seitenlänge bekannt. Du musst den dritten Winkel mit dem Winkelsummensatz \(\alpha+\beta+\gamma=180^°\) bestimmen. Dann kannst du den Sinussatz \(\frac{a}{sin(\alpha)}=\frac{c}{sin(\gamma)}\) anwenden.

Schritt 2: Entfernung berechnen

\(\alpha+\beta+\gamma=180^°\)\(\Rightarrow 38,8^°+63,3^°+\gamma=180^° \Rightarrow \gamma=77,9^°\)

\(\Rightarrow \frac{a}{sin(38,8^°)}=\frac{6,8\text{ km}}{sin(77,9^°)} \Rightarrow a =\frac{6,8\text{ km}}{sin(77,9^°)} \cdot sin(38,8^°)\)

\(\Rightarrow a=4,36\text{ km}\)

Schritt 3: Antwortsatz

Das Schiff ist im Punkt \(B\) 4,36 km vom Turm entfernt.

Aufgabe 5b.

Wie lang ist die Strecke \(\overline{AC}\)?

Schritt 1: Vorüberlegung

Für die Strecke \(\overline{AC}\) benötigst du noch die Strecke \(\overline{BC}\). In dem Dreieck BCT (Turm) sind ein Winkel und eine Seitenlänge bekannt. Der Winkel bei \(B\) ist der Nebenwinkel von dem Winkel 63,3°. Den dritten Winkel bestimmst du wieder mit dem Winkelsummensatz. Dann musst du wieder den Sinussatz anwenden.

Schritt 2: Strecke \(\overline{AC}\) bestimmen

\(\beta'=180^°-63,3^°=116,7^°\)

\(\alpha'+\beta'+\gamma'=180^°\)\(\Rightarrow 116,7^°+29,3^°+\gamma'=180^° \Rightarrow \gamma'=34^°\)

\(\Rightarrow \frac{b}{sin(34^°)}=\frac{4,36\text{ km}}{sin(29,3^°)} \Rightarrow b =\frac{4,36\text{ km}}{sin(29,3^°)} \cdot sin(34^°)\)

\(\Rightarrow a=4,98\text{ km}\)

\(\overline{AC} =\text{6,8 km}+\text{4,98 km}= \text{11,78 km}\)

Schritt 3: Antwortsatz

Die Strecke \(\overline{AC}\) hat eine Länge von 11,78 km.

  • Schwierigkeitsgrad:  2
  • Zeit:  10 Minuten
  • Punkte:  7

Aufgabe 6

Begründe ohne Verwendung des Taschenrechners und mithilfe der Definitionen der Sinus- und Kosinusfunktionen am Einheitskreis, dass gilt: \(sin\ 45^°=\frac 1 2 \cdot \sqrt 2 = cos\ 45^°\).

Schritt 1: Vorüberlegung

Fertige zuerst eine Skizze vom Einheitskreis an.

Trigonometrie, Variante (2) - Abbildung 4

Im Einheitskreis entsteht ein rechtwinkliges Dreieck mit den Seitenlängen:

Gegenkathete = sin 45°
Ankathete = cos 45°
Hypothenuse = 1

Natürlich gilt auch hier der Satz des Pythagoras (trigonometrischer Pythagoras):

\(sin^2(45^°)+cos^2(45^°)=1\)

Schritt 2: \(sin(45^°)=cos(45^°)\) 

Wenn \(\alpha = \beta= 45^°\) gilt, liegt ein gleichschenkliges Dreieck vor, da die Basiswinkel kongruent sind. Die Gegenkathete mit der Länge \(sin(45^°)\) und die Ankathete mit der Länge \(cos(45^°)\) sind gleich lang. Daraus folgt \(sin(45^°)=cos(45^°)\).

Schritt 3: \(sin(45^°)\) bestimmen

Nach dem trigonometrischen Pythagoras gilt \(sin^2(45^°)+cos^2(45^°)=1\).

Da \(sin(45^°)=cos(45^°)\) gilt, kannst du \(cos(45^°)\) durch \(sin(45^°)\) ersetzen.

\(\begin{align} sin^2(45^°)+sin^2(45^°)&=1 \\ 2sin^2(45^°)&=1 \\ sin^2(45^°)&=\frac 1 2 \\ sin(45^°)&=\frac 1 {\sqrt 2} \\ &\bf{=\frac 1 2 \sqrt 2} \end{align}\)

Analog kannst du \(\frac 1 2 \cdot \sqrt 2 = cos\ 45^°\) zeigen.

  • Schwierigkeitsgrad:  3
  • Zeit:  6 Minuten
  • Punkte:  3
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