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Symmetrie und Spiegelung (2)


Aufgabe 1

Sind die folgenden Figuren symmetrisch? Zeichne alle Symmetrieachsen und Symmetriezentren ein.

Lösung

a) Achsensymmetrie

b) Punktsymmetrie

c) Keine Symmetrie

d) Achsensymmetrie

Symmetrie und Spiegelung (2) - Abbildung 1

Du weißt nicht mehr, wie es geht? Dann schau hier und hier.

  • Schwierigkeitsgrad:  1
  • Zeit:  4 Minuten
  • Punkte:  4

Aufgabe 2

Konstruiere mit Lineal und Zirkel das Bild der Figur, das bei der Spiegelung an dem Punkt Z entsteht.

Lösung

Symmetrie und Spiegelung (2) - Abbildung 2

Du weißt nicht mehr, wie es geht? Dann schau hier.

  • Schwierigkeitsgrad:  1
  • Zeit:  10 Minuten
  • Punkte:  5

Aufgabe 3

Konstruiere die Bildpunkte der Punkte A(2|4), B(3,5|4,5), C(0|3) und D(6|6) bei Spiegelung an der Geraden g mit \(g=\overline{PQ}\), wobei P(0|1) und Q(7|8) sind.

Lösung

Symmetrie und Spiegelung (2) - Abbildung 3

Du weißt nicht mehr, wie es geht? Dann schau hier.

  • Schwierigkeitsgrad:  1
  • Zeit:  10 Minuten
  • Punkte:  6

Aufgabe 4

Die Punkte A'(8|5) und B'(7,5|1,5) sind aus einer Punktspiegelung aus den Punkten A(2,5|1) und B(3,5|4,5) entstanden. Konstruiere das Symmetriezentrum Z.

Lösung

Symmetrie und Spiegelung (2) - Abbildung 4

Du weißt nicht mehr, wie es geht? Dann schau hier.

  • Schwierigkeitsgrad:  2
  • Zeit:  7 Minuten
  • Punkte:  6

Aufgabe 5

Bei einer Spielshow bekommen die beiden Kandidaten folgende Aufgabe: Sie müssen vom Start zum Wasser laufen und dort einen Eimer füllen. Vom Wasser laufen sie dann mit dem gefüllten Eimer zum Ziel. Im Ziel müssen sie einen großen Plexiglaszylinder füllen und können dann auf direktem Weg zurück zum Start laufen. Das müssen sie solange machen, bis der Plexiglaszylinder gefüllt ist. Kandidat 1 läuft auf direktem Weg zum Wasser und dann ins Ziel und wieder zurück. Kandidat 2 versucht zuerst den kürzesten Weg abzuschätzen. Wie muss er vorgehen?

Symmetrie und Spiegelung (2) - Abbildung 5

Lösung

Symmetrie und Spiegelung (2) - Abbildung 6

Du musst den Punkt am Wasser so wählen, dass die Strecken Start-Ziel möglichst kurz ist. Das wäre einfach, wenn das Ziel unterhalb des Wassers liegen würde. Dann wäre eine Gerade durch Start und Ziel die kürzeste Verbindung. Der Punkt am Wasser wäre der Schnittpunkt der Wasserstrecke mit dieser Geraden. Diese Überlegung kannst du benutzen, denn der so gefundene Punkt am Wasser ergibt auch die kürzeste Verbindung vom Start zum Ziel, mit Zwischenstopp am Wasser. Den Punkt unterhalb des Wassers (Z') findest du durch eine Achsenspiegelung des Ziels an der Wasserstrecke.

  • Schwierigkeitsgrad:  2
  • Zeit:  7 Minuten
  • Punkte:  6

Aufgabe 6

Begründe, dass ein gleichseitiges Dreieck drei Symmetrieachsen besitzt.

Lösung

Du musst zuerst einmal eine Symmetrieachse bestimmen. Die Symmetrieachse, die den Punkt A auf den Punkt B abbildet, muss durch die Mitte der Strecke \(\overline{AB}\) verlaufen. Weiter muss der Punkt C ein Fixpunkt sein, also auf der Symmetrieachse liegen. Nach dem Kongruenzsatz SSS unterteilt diese mögliche Symmetrieachse das gleichseitige Dreieck in zwei kongruente Teildreiecke. Da die Basiswinkel bei A und B identisch sind, muss die mögliche Symmetrieachse senkrecht auf der Seite \(\overline{AB}\) stehen. Die Bedingungen "geht durch die Mitte der Strecke \(\overline{AB}\)", "geht durch den Punkt C" und "steht senkrecht auf \(\overline{AB}\)" gilt für die Höhe des gleichseitigen Dreiecks auf \(\overline{AB}\) durch C. Die Höhe auf \(\overline{AB}\) ist die gesuchte Symmetrieachse. Da ein gleichseitiges Dreieck genau drei Höhen hat und alle Winkel identisch sind, hat das gleichseitige Dreieck auch genau drei Symmetrieachsen. 

  • Schwierigkeitsgrad:  3
  • Zeit:  7 Minuten
  • Punkte:  3
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