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Potenzen und Wurzeln


Aufgabe 1

Vereinfache. Notiere alle Zwischenschritte, bei denen du ein Potenzgesetz verwendet hast.

  1. \((2\cdot\sqrt{3})^4\)
  2. \(5^2\cdot 5^3\)
  3. \(\frac{(-4)^6}{2^6}\)

  4. \(\frac{6^5}{6^3}\)

  5. \((4^{3})^2\)


Aufgabe 1a.

\((2\cdot\sqrt{3})^4\)

Schritt 1: Vorüberlegung

Du musst die Potenzgesetze \((a \cdot b)^n =a^n \cdot b^n\) und \((a^n)^m=a^{n\ \cdot\ m}\) anwenden.

Schritt 2: Vereinfachung

\((2\cdot\sqrt{3})^4=2^4 \cdot \sqrt{3}^4=16 \cdot 3^{\frac{4}{2}}=16 \cdot 9=144\)

Aufgabe 1b.

\(5^2\cdot 5^3\)

Schritt 1: Vorüberlegung

Du musst das Potenzgesetz \(a^n \cdot a^m=a^{n\ +\ m}\) anwenden.

Schritt 2: Vereinfachung

\(5^2\cdot 5^3=5^{2\ +\ 3}=5^5=3125\)

Aufgabe 1c.

\(\frac{(-4)^6}{2^6}\)

Schritt 1: Vorüberlegung

Du musst das Potenzgesetz \(a^n : b^n=(a:b)^n\) anwenden.

Schritt 2: Vereinfachung

\(\frac{(-4)^6}{2^6}=(\frac{(-4)}{2})^6=(-2)^6=64\)

Aufgabe 1d.

\(\frac{6^5}{6^3}\)

Schritt 1: Vorüberlegung

Du musst das Potenzgesetz \(a^n : a^m=a^{n\ -\ m}\) anwenden.

Schritt 2: Vereinfachung

\(\frac{6^5}{6^3}=6^{5\ -\ 3}=6^2=36\)

Aufgabe 1e.

\((4^{3})^2\)

Schritt 1: Vorüberlegung

Du musst das Potenzgesetz \((a^n)^m = a^{n\ \cdot\ m}\) anwenden.

Schritt 2: Vereinfachung

\((4^{3})^2=4^{3\ \cdot\ 2}=4^6=4096\)

  • Schwierigkeitsgrad:  1
  • Zeit:  8 Minuten
  • Punkte:  5

Aufgabe 2

Ordne den folgenden Graphen die passende Funktionsgleichung zu.

I.   \(y = x^\frac{1}{2}\)          II.   \(y = 2x^3\)          III.   \(y =x^4\)          IV.   \(y = 0,5x^{-2}\)

Potenzen und Wurzeln - Abbildung 1

Schritt 1: Vorüberlegung

Die Funktion I ist die Funktion \(y=\sqrt{x}\). Diese Funktion ist nur für positive x-Werte definiert und kann daher nur im I. Quadranten des Koordinatensystems liegen.

Die Funktion II muss aufgrund des ungeraden Exponenten punktsymmetrisch zum Koordinatenursprung sein.

Die Funktion III muss aufgrund des geraden Exponenten achsensymmetrisch zur y-Achse sein.

Die Funktion IV muss aufgrund des negativen Exponenten eine Hyperbel sein.

Schritt 2: Zuordnung

Der Graph f gehört zu der Funktion III.

Der Graph g gehört zu der Funktion IV.

Der Graph h gehört zu der Funktion II.

Der Graph i gehört zu der Funktion I.

  • Schwierigkeitsgrad:  1
  • Zeit:  5 Minuten
  • Punkte:  4

Aufgabe 3

Vereinfache.

  1. \(2x^4 + 3x^3 - 3x^2+2x^2-x^3+3x^4\)
  2. \(\frac{1}{2}x^2\cdot \frac{2}{3}y^2\cdot 6x^3y^4\)
  3. \(\frac{a^{-2}}{b^3}\cdot \frac{b^2}{a^{-3}}\)

  4. \((x^a)^{a\ +\ 1}\)

Aufgabe 3a.

\(2x^4 + 3x^3 - 3x^2+2x^2-x^3+3x^4\)

Schritt 1: Vorüberlegung

Sortiere den Term nach Potenzen mit gleichen Exponenten und fasse diese dann zusammen.

Schritt 2: Vereinfachung

\(2x^4 + 3x^3 - 3x^2+2x^2-x^3+3x^4\) \(=2x^4 +3x^4+ 3x^3 -x^3 - 3x^2+2x^2\)\(=5x^4+ 2x^3 - x^2\)

Aufgabe 3b.

\(\frac{1}{2}x^2\cdot \frac{2}{3}y^2\cdot 6x^3y^4\)

Schritt 1: Vorüberlegung

Sortiere den Term nach Potenzen mit gleicher Basis und fasse diese dann mit dem Potenzgesetz \(a^n \cdot a^m=a^{n\ +\ m}\) zusammen.

Schritt 2: Vereinfachung

\(\frac{1}{2}x^2\cdot \frac{2}{3}y^2\cdot 6x^3y^4\) \(=\frac{1}{2}x^2\cdot 6x^3 \cdot\frac{2}{3}y^2\cdot y^4\)\(=2 \cdot x^{2\ +\ 3} \cdot y^{2\ +\ 4}=2 x^5y^6\)

Aufgabe 3c.

\(\frac{a^{-2}}{b^3}\cdot \frac{b^2}{a^{-3}}\)

Schritt 1: Vorüberlegung

Sortiere den Term nach Potenzen mit gleicher Basis und fasse diese dann mit dem Potenzgesetz \(a^n:a^m=a^{n\ -\ m}\) zusammen.

Schritt 2: Vereinfachung

\(\frac{a^{-2}}{b^3}\cdot \frac{b^2}{a^{-3}}\) \(=\frac{a^{-2}}{a^{-3}}\cdot \frac{b^2}{b^{3}}=a^{-2\ -\ (-3)} \cdot b^{2\ -\ 3}=a^{1} \cdot b^{-1}=\frac{a}{b}\)

Aufgabe 3d.

\((x^a)^{a\ +\ 1}\)

Schritt 1: Vorüberlegung

Du musst das Potenzgesetz \((a^n)^m=a^{n\ \cdot\ m}\) anwenden.

Schritt 2: Vereinfachung

\((x^a)^{a\ +\ 1}\) \(=x^{a\ \cdot\ (a\ +\ 1)}=x^{a^2\ +\ a}\)

  • Schwierigkeitsgrad:  1 2
  • Zeit:  8 Minuten
  • Punkte:  8

Aufgabe 4

Vereinfache.

  1. \(\sqrt[3]{\sqrt[4]{81a^{12}}}\)
  2. \(\frac{5a^9b^7}{7c}:\frac{25a^5b^3}{14c^3}\)

Aufgabe 4a.

\(\sqrt[3]{\sqrt[4]{81a^{12}}}\)

Schritt 1: Vorüberlegung

Forme den Wurzelterm in eine Potenz um. Vereinfache anschließend mit dem Potenzgesetz \((a^n)^m=a^{n\ \cdot\ m}\).

Schritt 2: Vereinfachung

\(\sqrt[3]{\sqrt[4]{81a^{12}}}=((81a^{12})^\frac{1}{4})^ \frac{1}{3}\)\(=((81a^{12})^\frac{1}{12})=81^\frac{1}{12} \cdot a^1=3^\frac{4}{12} \cdot a=3^\frac{1}{3} \cdot a\)\(=\sqrt[3]{3} \cdot a\)

Aufgabe 4b.

\(\frac{5a^9b^7}{7c}:\frac{25a^5b^3}{14c^3}\)

Schritt 1: Vorüberlegung

Achtung, bei einer Division darfst du nicht kürzen. Man dividiert zwei Brüche, indem man den ersten Bruch mit dem Kehrwert des zweiten Bruches multipliziert. Vereinfache anschließend mit den Potenzgesetzen \(a^n \cdot a^m =a^{n\ +\ m}\) und \(a^n : a^m =a^{n\ -\ m}\).

Schritt 2: Vereinfachung

\(\frac{5a^9b^7}{7c}:\frac{25a^5b^3}{14c^3}\)\(=\frac{5a^9b^7}{7c} \cdot \frac{14c^3}{25a^5b^3}\)\(=\frac{5\ \cdot\ 14}{7\ \cdot\ 25} \cdot \frac{a^9b^7c^3}{a^5b^3c}\)\(=\frac{2}{5} \cdot a^4b^4c^2\)

  • Schwierigkeitsgrad:  2
  • Zeit:  8 Minuten
  • Punkte:  6

Aufgabe 5

Löse die Klammer auf.

  1. \((\sqrt{x}-\frac{1}{\sqrt{x}})^2\)
  2. \((x^2 - x^{-3})(2x + x^3)\)

Aufgabe 5a.

\((\sqrt{x}-\frac{1}{\sqrt{x}})^2\)

Schritt 1: Vorüberlegung

Verwende die 2. binomische Formel \((a-b)^2=a^2-2ab+b^2\). Fasse dann zusammen.

Schritt 2: Vereinfachung

\((\sqrt{x}-\frac{1}{\sqrt{x}})^2\)\(=\sqrt{x}^2-2 \cdot \sqrt{x} \cdot\frac{1}{\sqrt{x}}+(\frac{1}{\sqrt{x}})^2\)\(=x-2+\frac{1}{x}\)

Aufgabe 5b.

\((x^2 - x^{-3})(2x + x^3)\)

Schritt 1: Vorüberlegung

Verwende das Distributivgesetz. Fasse dann mit den Potenzgesetzen zusammen.

Schritt 2: Vereinfachung

\((x^2 - x^{-3})(2x + x^3)\)\(=2x^{(2\ +\ 1)} -2x^{(-3\ +\ 1)}+x^{2\ +\ 3}-x^{-3\ +\ 3}\) \(= 2x^3-2x^{-2}+x^5-1\)

  • Schwierigkeitsgrad:  2
  • Zeit:  8 Minuten
  • Punkte:  4

Aufgabe 6

Zeige die Gültigkeit der folgenden Gleichung. Verwende die Potenzgesetze.

\((\frac{c}{d})^{-n} = (\frac{d}{c})^n\)

Schritt 1: Vorüberlegung

Du musst konsequent die Potenzgesetze und die Bruchrechnung anwenden. Beginne auf der linken Seite und rechne so lange, bis du auf der rechten Seite ankommst.

Schritt 2: Nachweis

\((\frac{c}{d})^{-n} = \frac{1}{(\frac{c}{d})^{n}}= \frac{1}{\frac{c^n}{d^n}}\)\(= \frac{d^n}{c^n}=(\frac{d}{c})^n\)

  • Schwierigkeitsgrad:  3
  • Zeit:  8 Minuten
  • Punkte:  3
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