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Abi 2014 Analytische Geometrie, grundlegendes Anforderungsniveau (1)


Aufgabe 3

a)

1.

Schritt 1: Koordinaten des Mittelpunktes \(M\) bestimmen

\(\overrightarrow{OM} = \frac{1}{2}\overrightarrow{OD}=\frac{1}{2}\left(\begin{array}{c}1\\ 1\\ 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0,5\\ 0,5\\ 0\end{array}\right)\)

\(\Longrightarrow\) Der Mittelpunkt \(M\) der Strecke \(\overline{OD}\) hat die Koordinaten \(M\) \(\left(\frac{1}{2}\mid \frac{1}{2}\mid 0\right)\).

Schritt 2: Orthogonalität von \(CM\) und \(OD\) prüfen

Die Geraden \(CM\) und \(OD\) stehen genau dann senkrecht aufeinander, wenn die Vektoren \(\overrightarrow{CM}\) und \(\overrightarrow{OD}\) senkrecht aufeinanderstehen, also wenn das Skalarprodukt von \(\overrightarrow{CM}\) und \(\overrightarrow{OD}\) 0 ergibt.

\(\overrightarrow{CM}=\overrightarrow{OM}-\overrightarrow{OC}= \left(\begin{array}{c}0,5\\ 0,5\\ 0\end{array}\right)-\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0,5\\ -0,5\\ 0\end{array}\right)\\ \Longrightarrow \overrightarrow{CM}\cdot \overrightarrow{OD}= \left(\begin{array}{c}0,5\\ -0,5\\ 0\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{c}1\\ 1\\ 0\end{array}\right)=0,5\cdot 1+\left(-0,5\right)\cdot 1+0\cdot 0=0\)

Die Geraden \(CM\) und \(OD\) stehen somit senkrecht aufeinander.

Schritt 3: Abstand des Punktes \(C\) von der Geraden \(OD\) bestimmen

\(\overrightarrow{CM}\) steht senkrecht auf \(\overrightarrow{OD}\), also entspricht der gesuchte Abstand der Länge des Vektors \(\overrightarrow{CM}\).

\(\mid \overrightarrow{CM}\mid =\mid \left(\begin{array}{c}0,5\\ -0,5\\ 0\end{array}\right)\mid = \sqrt{0,5^{2}+\left(-0,5\right)^{2}+0^{2}}=\sqrt{0,5}=\frac{1}{\sqrt{2}}\)

\(\Longrightarrow\) Der gesuchte Abstand beträgt \(\frac{1}{\sqrt{2}}\)  Längeneinheiten.

b)

1.

Schritt 1: Aufpunkt und zwei Richtungsvektoren bestimmen

Abi 2014 Analytische Geometrie, grundlegendes Anforderungsniveau (1) - Abbildung 1

Als Aufpunkt bietet sich der Punkt \(A\) an. \(E\) steht senkrecht auf der Drehachse \(\overline{OD}\), also werden für die Parametergleichung zwei Richtungsvektoren (Spannvektoren) gebraucht, die senkrecht auf \(\overline{OD}\) stehen.

Aus Abbildung 2 erkennt man den Punkt \(A'\left(0\mid \sqrt{2}\mid 0\right)\), der in \(E\) liegt. Da \(\overline{AA'}\) Punkt und Spiegelpunkt bzgl. der Drehachse verbindet, steht dieser Vektor senkrecht auf der Drehachse, liefert also einen Richtungsvektor (Spannvektor) \(\overline{AA'}=\left(\begin{array}{c}-\sqrt{2}\\ \sqrt{2}\\ 0\end{array}\right)\) von \(E\).

Der Einfachheit halber bevorzugen wir den Richtungsvektor \(\frac{1}{\sqrt{2}}\overline{AA'}=\left(\begin{array}{c}-1\\ 1\\ 0\end{array}\right)\) als ersten Richtungsvektor. Ein zweiter ist \(\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right)\), der senkrecht nach oben zeigt und somit senkrecht auf der ganzen \(x_1\)\(x_2\)-Ebene steht, in der \(\overline{OD}\) liegt.

Schritt 2: Parametergleichung der Ebene \(E\) feststellen

Es ergibt sich aus diesen Daten die Parametergleichung:

\(E:\overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{c}\sqrt{2}\\ 0\\ 0\end{array}\right)+\lambda \left(\begin{array}{c}-1\\ 1\\ 0\end{array}\right)+\mu \left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right)\)

Schritt 3: Normalenform der Ebene \(E\) herleiten

Da \(A\left(\sqrt{2}\mid 0\mid 0\right)\) ein Punkt auf \(E\) und \(\overrightarrow{n}=\overrightarrow{OD} = \left(\begin{array}{c}1\\ 1\\ 0\end{array}\right)\) ein Normalenvektor von \(E\) ist, erhält man als Normalenform

\(E:\left(\overrightarrow{x}-\overrightarrow{OA}\right)\cdot \overrightarrow{n}=0\), also \(E: \left(\left(\begin{array}{c}x_1\\ x_2\\ x_3\end{array}\right)-\left(\begin{array}{c}\sqrt{2}\\ 0\\ 0\end{array}\right)\right)\cdot \left(\begin{array}{c}1\\ 1\\ 0\end{array}\right)=0\) bzw. ausmultipliziert und vereinfacht \(x_1+x_2-\sqrt{2}=0\).

2.

Schritt 1: Koordinaten des Schnittpunktes \(S\) bestimmen

Eine Gleichung der Geraden \(OD\) in Parameterform lautet \(\overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 0\end{array}\right)+\lambda \cdot \left(\begin{array}{c}1\\ 1\\ 0\end{array}\right)=\lambda \cdot \left(\begin{array}{c}1\\ 1\\ 0\end{array}\right).\)

Ein allgemeiner Punkt dieser Geraden hat also die Koordinaten \(P_\lambda\left(\lambda \mid \lambda \mid 0\right)\).

Setzt man den allgemeinen Punkt \(P_\lambda\left(\lambda \mid \lambda \mid 0\right)\) der Geraden \(OD\) in die Koordinatengleichung von \(E\) ein, so erhält man:

\(\lambda+\lambda-\sqrt{2}=0 \Leftrightarrow \lambda=\frac{1}{2}\sqrt{2}\)

Einsetzen dieses Parameters in den allgemeinen Geradenpunkt \(P_\lambda\left(\lambda \mid \lambda \mid 0\right)\) liefert den Schnittpunkt \(S\left(\frac{1}{2}\sqrt{2} \mid \frac{1}{2}\sqrt{2} \mid 0\right)\).

c)

1.

Schritt 1: Ebenengleichung in Parameterform bestimmen

Die Ebene \(E^*\) wird aufgespannt von dem Richtungsvektor \(\left(\begin{array}{c}1\\ 1\\ 0\end{array}\right)\) der Geraden \(OD\) und dem Normalenvektor \(\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right)\) der \(x_1\)\(x_2\)-Ebene. Als Stützvektor kann der Nullvektor verwendet werden, da der Ursprung in der Ebene liegt. Somit ergibt sich die Parametergleichung \(E^*:\overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 0\end{array}\right)+r\cdot \left(\begin{array}{c}1\\ 1\\ 0\end{array}\right)+s\cdot \left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right)= r\cdot \left(\begin{array}{c}1\\ 1\\ 0\end{array}\right)+s\cdot \left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right), \;r\in \mathbb{R}, \;s \in \mathbb{R}.\)

2.

Schritt 1: Vektorgleichung für \(\overrightarrow{OA^*}\) aufstellen

Unter Benutzung des Punktes \(S\) aus Teilaufgabe b) (2.) erhält man unter Berücksichtigung von Abbildung 3 die Gleichung \(\overrightarrow{OA^*}=\overrightarrow{OS}+\overrightarrow{SA^*}\), wobei \(\overrightarrow{SA^*}\) senkrecht nach oben zeigt, d. h., es gibt ein \(\lambda \in \mathbb{R}\) mit \(\overrightarrow{SA^*}=\lambda\cdot \left(\begin{array}{c}0\\0\\ 1\end{array}\right)\). Außerdem gilt \(\mid\overrightarrow{SA^*}\mid\;=\;\mid\overrightarrow{SA}\mid\)

Abi 2014 Analytische Geometrie, grundlegendes Anforderungsniveau (1) - Abbildung 2

Schritt 2: Die Länge des Vektors \(\overrightarrow{SA}\) berechnen

\(\overrightarrow{SA}=\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OS}=\left(\begin{array}{c}\sqrt{2}\\0\\ 0\end{array}\right)-\left(\begin{array}{c}0,5\sqrt{2}\\0,5\sqrt{2}\\ 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0,5\sqrt{2}\\-0,5\sqrt{2}\\ 0\end{array}\right)\\ \Longrightarrow\; \mid \overrightarrow{SA}\mid\;\;\;=\sqrt{\left(0,5\sqrt{2}\right)^2+\left(-0,5\sqrt{2}\right)^2+0^2}=1\\ \Longrightarrow\; \mid \overrightarrow{SA^*}\mid\;=1\)

Schritt 3: Koordinaten des Punktes \(A^*\) berechnen

\(\overrightarrow{OA^*}=\overrightarrow{OS}+\overrightarrow{SA^*}=\left(\begin{array}{c}0,5\sqrt{2}\\0,5\sqrt{2}\\ 0\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}0\\0\\ 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0,5\sqrt{2}\\0,5\sqrt{2}\\ 1\end{array}\right)\\ \Longrightarrow\; A^*\left(0,5\sqrt{2}\mid 0,5\sqrt{2}\mid 1\right)\)

d)

1.

Schritt 1: Nachweisen, dass \(ABDS\) ein Drachenviereck ist

Abbildung 3 (siehe oben) legt nahe, dass die Seiten \(\overline{AS}\) und \(\overline{AB}\) gleich lang sind, ebenso die Seiten \(\overline{SD}\) und \(\overline{BD}\). Diese Gleichungen weisen wir rechnerisch nach, um zu zeigen, dass es sich um ein Drachenviereck handelt.

Aus der Teilaufgabe c) (2., Schritt 3) ist bekannt, dass \(\mid\overrightarrow{AS}\mid\;=1\) ist. Das Viereck \(OABC\) (das ganze DIN-A4-Blatt) ist ein Rechteck, also ist \(\mid\overrightarrow{AB}\mid=\mid\overrightarrow{OC}\mid\;=1\). Somit ist die Gleichung \(\mid\overrightarrow{AS}\mid=\mid\overrightarrow{AB}\mid\) nachgewiesen.

Es ist:

\(\mid\overrightarrow{SD}\mid\;=\; \mid\left(\begin{array}{c}1\\1\\ 0\end{array}\right)-\left(\begin{array}{c}0,5\sqrt{2}\\0,5\sqrt{2}\\ 0\end{array}\right)\mid\;=\;\mid\left(\begin{array}{c}1-0,5\sqrt{2}\\1-0,5\sqrt{2}\\ 0\end{array}\right)\mid\\ \qquad\;\;=\sqrt{\left(1-0,5\sqrt{2}\right)^2+\left(1-0,5\sqrt{2}\right)^2+0^2}\\ \qquad\;\;=\sqrt{2\cdot \left(1-0,5\sqrt{2}\right)^2}=\sqrt{2}\cdot \sqrt{\left(1-0,5\sqrt{2}\right)^2}\\ \qquad\;\;=\sqrt{2}\;\cdot \mid 1-0,5\sqrt{2}\mid=\sqrt{2}-1\quad und\\ \\ \mid\overrightarrow{BD}\mid\;=\; \mid\left(\begin{array}{c}1\\1\\ 0\end{array}\right)-\left(\begin{array}{c}\sqrt{2}\\1\\ 0\end{array}\right)\mid\;=\;\mid \left(\begin{array}{c}1-\sqrt{2}\\0\\ 0\end{array}\right)\mid\\ \qquad\;\;\;=\sqrt{\left(1-\sqrt{2}\right)^2+0^2+0^2}\\ \qquad\;\;\;=\sqrt{2}-1\)

Damit gilt auch \(\mid\overrightarrow{SD}\mid=\mid\overrightarrow{BD}\mid\). Also handelt es sich bei dem Viereck \(ABDS\) um einen Drachen.

2.

Schritt 1: Flächeninhalt des Drachen bestimmen

Aus Abbildung 3 kann man erkennen, dass sich der Drachen aus zwei gleich großen rechtwinkligen Dreiecken zusammensetzt, nämlich \(ABD\) und \(ADS\).

Die Kathetenlängen sind aus Teilaufgabe d) (1.; Schritt 1) bekannt:

\(\mid\overrightarrow{AS}\mid\;=1\) und \(\mid\overrightarrow{SD}\mid\;=\sqrt{2}-1\)

Somit ist der Flächeninhalt \(A\) des Drachen gegeben durch \(A=2\cdot A_{ADS}=2\cdot \frac{1}{2} \cdot \mid\overrightarrow{AS}\mid \cdot \mid\overrightarrow{SD}\mid \;=\sqrt{2}-1\;\left[FE\right].\)

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