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Abi 2013 Analytische Geometrie/Stochastik Wahlteil, Aufgabe B2


Aufgabe B 2.1

 Aufgabe B 2.1a)

Schritt 1: Koordinatengleichung von \(S\) angeben

Der Abbildung entnimmt man die Koordinaten dreier Punkte auf \(S\), nämlich \(M_1(8|0|4)\)\(M_2(4|0|8)\) und \(F_1(8|8|8)\). Als Stützvektor der Ebene gilt der Punkt \(M_1\) und als Spannvektoren die Verbindungsvektoren:

\(\overrightarrow{M_{1}M_{2}}=\overrightarrow{OM_{2}}-\overrightarrow{OM_{1}}=\left(\begin{array}{c}4\\0\\ 8\end{array}\right)-\left(\begin{array}{c}8\\0\\ 4\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-4\\0\\ 4\end{array}\right)\) und 

\(\overrightarrow{M_{1}F}=\overrightarrow{OF}-\overrightarrow{OM_{1}}=\left(\begin{array}{c}8\\8\\ 8\end{array}\right)-\left(\begin{array}{c}8\\0\\ 4\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0\\8\\ 4\end{array}\right)\)

So ergibt sich die Parametergleichung:

\(S:\overrightarrow{x}\left(\begin{array}{c}8\\0\\ 4\end{array}\right)+r\left(\begin{array}{c}-4\\0\\ 4\end{array}\right)+s\left(\begin{array}{c}0\\8\\ 4\end{array}\right);\quad r \in\mathbb R,\ s\in\mathbb R\)

Ein Normalenvektor \(\overrightarrow{n}\left(\begin{array}{c}n_{1}\\n_{2}\\ n_{3}\end{array}\right)\) ergibt sich aus der Bedingung, dass er senkrecht auf beiden Spannvektoren sein muss: 

\(\left(\begin{array}{c}-4\\0\\ 4\end{array}\right)\circ \left(\begin{array}{c}n_{1}\\n_{2}\\ n_{3}\end{array}\right)=0\) und \(\left(\begin{array}{c}0\\8\\ 4\end{array}\right)\circ \left(\begin{array}{c}n_{1}\\n_{2}\\ n_{3}\end{array}\right)=0\)

Das liefert zwei Gleichungen: 

\(I: -4n_{1}+4n_{3}=0\) und 

\(II: 8n_{2}+4n_{3}=0\)

Aus II folgt \(n_{3}=-2n_{2}\). Eine Komponente ist aus \(\mathbb R\)\{0} frei wählbar, also setzen wir \(n_{2}=1\) und erhalten damit \(n_{3}=-2n_{2}=-2.\) Diesen Wert setzen wir in I ein und erhalten:

\(-4n_{1}+4\cdot (-2)=0\), also \(n_{1}=-2\)

Somit ist \(\overrightarrow{n}\left(\begin{array}{c}-2\\1\\ -2\end{array}\right)\) ein Normalenvektor von \(S\). Eine Koordinatenform lautet also

\(S: -2x_{1}+x_{2}-2x_{3}=a\)

für einen noch zu bestimmenden Parameter \(a\in\mathbb R\). Der Punkt \(M_{1}\) liegt auf \(S\), also müssen die Koordinaten dieses Punktes die Gleichung 

\(-2\cdot8+0-2\cdot4=a\Leftrightarrow-24=a\)

erfüllen. Eine Koordinatengleichung für \(S\) ist daher gegeben durch: 

\(S: -2x_{1}+x_{2}-2x_{3}=-24\)

Schritt 2: Gleichschenkligkeit nachweisen

Anhand der Zeichnung vermutet man als gleich lange Schenkel \(M_{1}F\) und \(M_{2}F\). Die Längen dieser Strecken sind:

\(|\overrightarrow{M_{1}F}|=|\left(\begin{array}{c}0\\8\\ 4\end{array}\right)|=\sqrt{8^{2}+4^{2}}=\sqrt{80}\) und

\(|\overrightarrow{M_{2}F}|=|\left(\begin{array}{c}4\\8\\ 0\end{array}\right)|=\sqrt{4^{2}+8^{2}}=\sqrt{80}\)

Somit sind zwei der drei Seiten des Dreiecks \(M_{1}M_{2}F\) gleich lang, d. h., es handelt sich um ein gleichschenkliges Dreieck. 

Schritt 3: Flächeninhalt bestimmen 

Da die Seiten \(M_{1}F\) und \(M_{2}F\) gleich lang sind, ist die zur Grundseite \(M_{1}M_{2}\) gehörige Höhe des Dreiecks die Verbindungsstrecke von \(F\) zum Mittelpunkt \(M\) der Grundseite. Dessen Ortsvektor ist gegeben durch:

\(\overrightarrow{OM}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{OM_{1}}+\overrightarrow{OM_{2}})\\ \quad\quad =\frac{1}{2}(\left(\begin{array}{c}8\\0\\ 4\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}4\\0\\ 8\end{array}\right))\\ \quad\quad =\frac{1}{2}(\left(\begin{array}{c}12\\0\\ 12\end{array}\right))\\ \quad\quad = \left(\begin{array}{c}6\\0\\ 6\end{array}\right)\)

Die Länge der Grundseite ist:

\(g=|\overrightarrow{M_{1}M_{2}}|=|\left(\begin{array}{c}-4\\0\\ 4\end{array}\right)|=\sqrt{(-4)^{2}+4^{2}}=\sqrt{32}\)

Die Höhe ist:

\(h=|\overrightarrow{MF}|=|\left(\begin{array}{c}8\\8\\ 8\end{array}\right)-\left(\begin{array}{c}6\\0\\ 6\end{array}\right)|=|\left(\begin{array}{c}2\\8\\ 2\end{array}\right)|=\sqrt{2^{2}+8^{2}+2^{2}}=\sqrt{72}\)

Die Fläche des Dreiecks beträgt somit:

\(A_{Dreieck}=\frac{1}{2}\cdot g\cdot h \\ \quad\quad\quad\;=\frac{1}{2}\sqrt{32}\cdot\sqrt{72}\\ \quad\quad\quad\;=\sqrt{8}\cdot\sqrt{72}\\ \quad\quad\quad\;=2\sqrt{2}\cdot2\sqrt{18}\\ \quad\quad\quad\;=4\sqrt{36}\\ \quad\quad\quad\;= 24\ [FE]\)

Das Segeltuch hat somit einen Flächeninhalt von 24 m². 

Schritt 4: Abstand von \(S\) zu \(E\) bestimmen

Die hessesche Normalenform von \(S\) entsteht aus der Koordinatengleichung, indem man durch den Betrag des zugehörigen Normalenvektors teilt, also hier: 

\(S:\frac{2x_{1}\ -\ x_{2}\ +\ 2x_{3}\ -\ 24}{3}=0\)

Der Abstand dieser Ebene zum Punkt \(E\) ergibt sich dann durch Einsetzen der Koordinaten von \(E\) in den Betrag der linken Seite dieser Gleichung: 

\(d(S,E)=\frac{2\ \cdot\ 8\ -\ 0\ +\ 2\ \cdot\ 8\ -\ 24}{3}=\frac{8}{3}\)

Das Segeltuch hat also einen Abstand von etwa 2,7 LE von der Ecke \(E\).

Aufgabe B2.1b)

Schritt 1: Unteres Ende der Stange bestimmen 

Sei \(E_{U}\) das untere Ende der Stange. Da \(E_{U}\) auf der Strecke \(AC\) liegt, hat \(E_{U}\) die Koordinaten \(E_{U}(t|8-t|0)\) für einen noch zu bestimmenden Parameter \(t\in [0;8]\). Das obere Ende \(E_{O}\) liegt 6 LE oberhalb von \(E_{U}\), hat also die Koordinaten \(E_{O}(t|8-t|6)\)\(E_{O}\) liegt in der Ebene \(S\), also erfüllen die Koordinaten von \(E_{O}\) die Gleichung der Ebene: 

\(2\cdot t-(8-t)+2\cdot6-24=0\Leftrightarrow3t-20=0\Leftrightarrow t =\frac{20}{3}\)

Damit ist \(E_{U}(\frac{20}{3}|\frac{4}{3}|0).\)

Aufgabe B 2.2

Aufgabe B 2.2a)

Schritt 1: Nachweis faires Spiel 

Zu zeigen ist, dass der Erwartungswert der Auszahlung \(X\) in Euro dem Einsatz entspricht. Die möglichen Auszahlungen erfolgen mit folgenden Wahrscheinlichkeiten:

Die Auszahlung von 2 € erfolgt nur bei einer der 36 möglichen Felderkombinationen, hat also eine Wahrscheinlichkeit von \(\frac{1}{36}.\) Die Auszahlung von 0,85 € erfolgt, wenn beide Räder an einem der 2 Diamanten von insgesamt 6 Feldern stehen bleiben. Diese Auszahlung hat also eine Wahrscheinlichkeit von \(\frac{2}{6}\cdot \frac{2}{6}=\frac{1}{9}\). Die Auszahlung von 0,20 € erfolgt, wenn beide Räder an einem der 3 Kleeblattfelder von insgesamt 6 Feldern stehen bleiben. Diese Auszahlung hat also eine Wahrscheinlichkeit von \(\frac{3}{6}\cdot \frac{3}{6}=\frac{1}{4}\).

Insgesamt erfolgt also mit einer Wahrscheinlichkeit von \(\frac{1}{36}+ \frac{1}{9}+\frac{1}{4}=\frac{13}{36}\) eine Auszahlung, d. h. mit einer Wahrscheinlichkeit von \(1-\frac{13}{36}=\frac{23}{36}\) keine Auszahlung. 

Die Zufallsvariable \(X\) beschreibe die Auszahlung in Euro nach einem Spiel. Der Erwartungswert von \(X\) ist:

\(E(X)=\frac{1}{36}\cdot2+ \frac{1}{9}\cdot0,85+\frac{1}{4}\cdot0,2= 0,2\)

Es ist also im Schnitt eine Auszahlung von 0,20 € zu erwarten, was genau dem Einsatz entspricht. Deshalb ist das Spiel fair.

Schritt 2: Neuen Auszahlungsbetrag bestimmen 

Der neue Auszahlungsbetrag sei \(a.\) Der Erwartungswert von \(X\) ist jetzt:

\(E(X)=\frac{1}{36}\cdot2+ \frac{1}{9}\cdot a+\frac{1}{4}\cdot0,2= \frac{1,9\ +\ 2a}{18}\)

Damit der Veranstalter im Schnitt 0,05 € pro Spiel Gewinn macht, müssen nach Abzug der durchschnittlichen Auszahlung an die Spieler vom Einsatz noch 0,05 € übrig bleiben, d. h., es muss \(0,2-E(X)=0,05\) sein.

Somit gilt:

\(0,2-\frac{1,9\ +\ 2a}{18}=0,05\\ \Leftrightarrow 3,6-(1,9+2a)=0,9\\ \Leftrightarrow 2a = 3,6-1,9-0,9=0,8\\ \Leftrightarrow a=0,4\)

Der neue Auszahlungsbetrag für die Kombination Diamant–Diamant beträgt 0,40 €.

Aufgabe B 2.2b)

Schritt 1: Wahrscheinlichkeitsverteilung bestimmen

Die Zufallsvariable \(Y\) beschreibe, wie oft bei den 500 Spielen die Kombination Stern–Stern vorkommt. \(Y\) ist binomialverteilt mit Parametern \(n\) = 500 und \(p\) (unbekannt).

Schritt 2: Testart bestimmen

Es handelt sich um einen rechtsseitigen Test mit der Nullhypothese \(H_{0}:p\geq\frac{1}{36}\).

Schritt 3: Ablehnungsbereich ermitteln

Die Nullhypothese wird angenommen, wenn die Kombination Stern–Stern oft vorkommt. Der Annahmebereich hat daher die Form \(\{g;\ g+1;\ ...;\ 500\}\) für ein  \(g\in\mathbb N_0\).

Die Irrtumswahrscheinlichkeit ist die Wahrscheinlichkeit, dass \(H_0\) fälschlicherweise abgelehnt wird. Das ist also die Wahrscheinlichkeit, dass \(Y<g\) ausfällt, obwohl \(p\geq\frac{1}{36}\) ist. Am größten ist diese Wahrscheinlichkeit, wenn \(p=\frac{1}{36}\) ist. Selbst in diesem Grenzfall soll \(P(Y<g)\leq0,05\) gewährleistet sein. Gesucht ist das größte \(g\), bei dem diese Ungleichung für \(p=\frac{1}{36}\) noch erfüllt ist. 

Die Ungleichung \(P(Y<g)\leq0,05\) ist äquivalent zu \(P(Y\leq g-1)\leq0,05.\)

Gibt man im STAT-Modus des GTR die Liste 

Abi 2013 Analytische Geometrie/Stochastik Wahlteil, Aufgabe B2 - Abbildung 1

als List1 ein und bedient sich der Bcd-Funktion vermittels der BINM-Option im DIST-Menü, so kann man die weiteren Daten

Abi 2013 Analytische Geometrie/Stochastik Wahlteil, Aufgabe B2 - Abbildung 2

eingeben und erhält aus Ausgabe die Liste:

Abi 2013 Analytische Geometrie/Stochastik Wahlteil, Aufgabe B2 - Abbildung 3

Der 5. und 6. Zeile entnimmt man:

\(P(Y\leq7)\approx0,0318\) und \(P(Y\leq8)\approx0,0629\)

Das größte \(g\in\mathbb N_0\) mit \(P(Y\leq g-1)\leq 0,05\) erfüllt somit \(g-1=7\), also \(g=8.\) Wenn mindestens achtmal die Kombination Stern–Stern erscheint, so wird die Nullhypothese angenommen, ansonsten wird sie abgelehnt. 

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