Bessere Noten mit Duden Learnattack Jetzt kostenlos testen
 

Analytische Geometrie, grundlegendes Anforderungsniveau, Musterlösung zur 2. Aufgabe


Aufgabe 4

a)

1.

Schritt 1: Verteilung nach einem Jahr

Die Verteilung nach einem Jahr ergibt sich durch Multiplikation der Übergangsmatrix mit der Startverteilung.

\(\left(\begin{array}{c}0\\0,6\\ 0\end{array}\quad\begin{array}{c}0\\0\\ 0,6\end{array}\quad\begin{array}{c}0,5\\0\\ 0,8\end{array}\right) \cdot \left(\begin{array}{c}2000\\4000\\ 15.000\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0,5\cdot15.000\\0,6\cdot 2000\\ 0,6\cdot 4000+0,8\cdot15.000\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}7500\\1200\\ 14.400\end{array}\right)\)

Nach einem Jahr sind also laut Modell 7500 Vögel in Altersgruppe 1, 1200 in Altersgruppe 2 und 14.400 in Altersgruppe 3.

Schritt 2: Verteilung nach zwei Jahren

Die Verteilung nach zwei Jahren ergibt sich durch Multiplikation der Übergangsmatrix mit dem Verteilungsvektor nach einem Jahr.

\(\left(\begin{array}{c}0\\0,6\\ 0\end{array}\quad\begin{array}{c}0\\0\\ 0,6\end{array}\quad\begin{array}{c}0,5\\0\\ 0,8\end{array}\right) \cdot \left(\begin{array}{c}7500\\1200\\ 14.400\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0,5\cdot14.400\\0,6\cdot 7500\\ 0,6\cdot 1200+0,8\cdot14.400\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}7200\\4500\\ 12.240\end{array}\right)\)

Nach zwei Jahren gibt es 7200 Jungvögel, 4500 Vögel im 2. Lebensjahr und 12.240 Altvögel.

2.

Schritt 1: Verteilung der Vögel

Gesucht ist der Vektor \(\overrightarrow{x}\) mit:

\(\left(\begin{array}{c}0\\0,6\\ 0\end{array}\quad\begin{array}{c}0\\0\\ 0,6\end{array}\quad\begin{array}{c}0,5\\0\\ 0,8\end{array}\right) \cdot \left(\begin{array}{c}x_1\\x_2\\ x_3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}2000\\4000\\ 15.000\end{array}\right)\)

Diese Gleichung führt auf das folgende lineare Gleichungssystem:

\(I:\qquad\qquad\qquad\quad 0,5x_3=2000\\ II: \;0,6x_1\qquad\qquad\quad\;\;\;\ =4000\\ III: \qquad\; 0,6x_2+0,8x_3=15.000\)

Aus \(I\) folgt \(x_3=2000:0,5=4000\) und aus \(II\) folgt \(x_1=4000:0,6\approx6667\)

Setzt man den Wert für \(x_3\) in \(III\) ein, so erhält man \(x_2=\left(15.000-0,8 \cdot 4000\right):0,6=11.800:0,6\approx19.667\).

Im Vorjahr gab es also laut Modell etwa 6667 Jungvögel, etwa 19.667 Vögel in der Altersgruppe 2 und 4000 Altvögel.

3.

Schritt 1: Wert Null aus dem Sachzusammenhang erklären

Die 1. Zeile der Matrix steht für den Übergang in die Altersgruppe 1. Die 1. Spalte beschreibt den Übergang von der Altersgruppe 1. Somit bedeutet die Null in der 1. Zeile und 1. Spalte, dass der Bestand an Jungvögeln am Anfang eines Jahres keinen Einfluss auf den Bestand an Jungvögeln im Folgejahr hat, d. h., keine Jungvögel bleiben nach einem Jahr in der Altersgruppe 1 und keine Jungvögel brüten neue Jungvögel aus. Das liegt daran, dass alle überlebenden Jungvögel nach einem Jahr in die Altersgruppe 2 übergehen und die Vögel erst im 3. Lebensjahr brüten können. Außerdem wird im Modell davon ausgegangen, dass keine Seevögel von außerhalb der Beobachtungszone einfliegen.

Die zweite Null in der 1. Zeile bedeutet, dass der Bestand an Vögeln der Altersgruppe 2 keinen Einfluss auf die Altersgruppe 1 im Folgejahr hat. Das liegt daran, dass die Vögel im 2. Lebensjahr weder jünger werden noch brüten können, um neue Jungvögel für das Folgejahr hervorzubringen.

Die Null in der 2. Zeile und 2. Spalte der Matrix bedeutet, dass der Bestand an Vögeln der Altersgruppe 2 keinen Einfluss auf die Altersgruppe 2 im Folgejahr hat. Das folgt direkt aus der Definition der Altersgruppen, nachdem alle überlebenden Vögel der Altersgruppe 2 in die Altersgruppe 3 übergehen.

Die Null in der 2. Zeile und 3. Spalte gibt an, dass der Bestand an Vögeln der Altersgruppe 3 keinen Einfluss auf die Altersgruppe 2 im Folgejahr hat. Der Grund dafür ist, dass die Altvögel nur durch ihre Überlebensrate den zukünftigen Bestand der Altvögel oder durch Brüten den Bestand der Jungvögel im Folgejahr beeinflussen können, nicht aber den Bestand der Altersgruppe 2.

In der 3. Zeile und 1. Spalte zeigt die Null an, dass die Jungvögel keinen Einfluss auf den Bestand der Altvögel nach einem Jahr nehmen. Das liegt an der Definition der Altersgruppen, nach der die Vögel im Verlauf eines Jahres immer nur eine Altersgruppe weiterrücken können.

b)

1.

Eine Verteilung \(\left(\begin{array}{c}x_1\\x_2\\ x_3\end{array}\right)\) ist genau dann stationär, wenn gilt:

\(\left(\begin{array}{c}0\\0,6\\ 0\end{array}\quad\begin{array}{c}0\\0\\ 0,6\end{array}\quad\begin{array}{c}0,5\\0\\ 0,8\end{array}\right) \cdot \left(\begin{array}{c}x_1\\x_2\\ x_3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}x_1\\x_2\\ x_3\end{array}\right)\)

Schritt 1: Gleichungssystem aufstellen

Obige Gleichung führt auf das folgende lineare Gleichungssystem:

\(I:\qquad\qquad\qquad\; 0,5x_3=x_1\\ II: 0,6x_1\qquad\qquad\quad\;\;\ =x_2\\ III: \quad\;\; 0,6x_2+0,8x_3=x_3\)

oder vereinfacht:

\(I: \qquad -x_1\qquad\qquad\;\ 0,5x_3 \;=0\\ II:\quad0,6x_1\;\;-x_2\qquad\qquad\;=0\\ III: \qquad\quad\;\ 0,6x_2-\;0,2x_3 =0\)

Schritt 2: Gleichungssystem lösen

\(I\) liefert \(x_1=0,5x_3\), was in \(II\) eingesetzt zu \(0,6\cdot 0,5x_3=x_2\) führt, d. h. \(x_2=0,3x_3\). Dies wiederum in \(III\) eingesetzt liefert \(0,6 \cdot 0,3x_3-0,2x_3=0\), also \(-0,02x_3=0\;\Longrightarrow\;x_3=0\). Somit liefert \(I\) die Beziehung \(x_1=0\) und damit folgt aus \(II\) sofort \(x_2=0\).

Außer der trivialen Lösung \(\overrightarrow{x}=0\) gibt es daher keine stationäre Verteilung.

2.

Wenn sich die Population pro Jahr um einen festen Prozentsatz \(p\) verkleinert und in einem Zeitraum von 10 Jahren von 17.870 auf 15.422 verringert, dann gilt:

\(15.422=17.870\cdot \left(1-p\right)^{10}\), also:

\(p=1-\sqrt[10]{\frac{15.422}{17.870}}\approx1-0,9854=0,0146\approx1,5\) %

Nach einer gewissen Zeit verringert sich die Population um etwa 1,5 % pro Jahr.

3.

Schritt 1: Halbwertszeit bestimmen

Gesucht ist die Halbwertszeit \(T\) für einen vorhandenen Bestand \(B>0\), d. h. ein \(n\), sodass gilt:

\(B\cdot \left(1-p\right)^T=\frac{1} {2}\cdot B \qquad\qquad \mid:B\)

\(\left(1-p\right)^T=\frac{1} {2}\qquad\qquad\qquad\quad logarithmieren\)

\(ln\left(\left(1-p\right)^T\right)=ln\left(\frac{1} {2}\right)\)          Logarithmus-Gesetz \(anwenden\)

\(T\cdot ln\left(1-p\right)=ln\left(\frac{1} {2}\right) \qquad\quad\; \mid :ln\left(1-p\right)\)

\(T=\frac{ln\left(\frac{1}{2}\right)}{ln\left(1-p\right)}\)

Mit \(p\approx 0,01462\) ergibt sich

\(T=\frac{ln\left(\frac{1}{2}\right)}{ln\left(1-p\right)}\approx47,06\)

Damit halbiert sich nach gut 47 Jahren der Bestand.

4.

Schritt 1: Sationäre Verteilung bei neuer Übergangsmatrix

Die neue Übergangsmatrix lautet \(\left(\begin{array}{c}0\\0,6\\ 0\end{array}\quad\begin{array}{c}0\\0\\ 0,6\end{array}\quad\begin{array}{c}\frac{5}{9 }\\0\\ 0,8\end{array}\right)\).

Zu zeigen ist, dass \(\left(\begin{array}{c}5\\3\\ 9\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}5n\\3n\\ 9n\end{array}\right)\) für jedes \(n\in \mathbb{N}\) eine stationäre Verteilung ist, d. h., dass stets \(\left(\begin{array}{c}0\\0,6\\ 0\end{array}\quad\begin{array}{c}0\\0\\ 0,6\end{array}\quad\begin{array}{c}\frac{5}{9 }\\0\\ 0,8\end{array}\right) \cdot \left(\begin{array}{c}5n\\3n\\ 9n\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}5n\\3n\\ 9n\end{array}\right)\) gilt.

Es ist

\(\left(\begin{array}{c}0\\0,6\\ 0\end{array}\quad\begin{array}{c}0\\0\\ 0,6\end{array}\quad\begin{array}{c}\frac{5}{9 }\\0\\ 0,8\end{array}\right) \cdot \left(\begin{array}{c}5n\\3n\\ 9n\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0 \cdot 5n+0 \cdot 3n +\frac{5}{9}\cdot 9n \\0,6\cdot 5n+0 \cdot 3n+0\cdot 9n\\ 0\cdot 5n+0,6\cdot 3n+0,8\cdot 9n\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}5n\\3n\\ 9n\end{array}\right)\)

unabhängig von \(n\). Also handelt es sich stets um eine stationäre Verteilung.

5.

Schritt 1: Prozentuale Anteile der Altersgruppen an der Population berechnen

Für \(n=1\) ergibt sich die stationäre Verteilung \(\left(\begin{array}{c}5\\3\\ 9\end{array}\right)\). Zu dieser Verteilung gehört die Gesamtanzahl an Vögeln von \(5+3+9=17\).

Anteil der Jungvögel: \(\frac{5}{17}\approx29,4\) %

Anteil der Vögel der Altersgruppe 2: \(\frac{3}{17}\approx17,6\) %

Anteil der Altvögel: \(\frac{9}{17}\approx52,9\) %

Wählt man einen anderen Parameter \(n\), so hat man insgesamt \(5n+3n+9n=17n\) Vögel mit folgenden Anteilen:

Anteil der Jungvögel: \(\frac{5n}{17n}\approx29,4\) %

Anteil der Vögel der Altersgruppe 2: \(\frac{3n}{17n}\approx17,6\) %

Anteil der Altvögel: \(\frac{9n}{17n}\approx52,9\) %

Es ergeben sich also unabhängig von \(n\) dieselben Anteile wie für den zuerst betrachteten Fall \(n=1\).

c)

1.

Die Übergangsmatrix lautet \(M=\left(\begin{array}{c}0\\0,5\end{array}\quad\begin{array}{c}0,8\\ 0,6\end{array}\right)\).

2.

Hier werden nur zwei Altersgruppen unterschieden:

\(x_1:\)       Anzahl der Jungvögel im 1. Lebensjahr (Altersgruppe 1)

\(x_2:\)       Anzahl der Vögel ab dem 2. Lebensjahr (Altersgruppe 2)

Man geht davon aus, dass 50 % der Jungvögel das 2. Lebensjahr erreichen, d. h., die Überlebensrate ist zunächst um 10 % geringer als bei den zuerst betrachteten Seevögeln. Ab dem 2. Lebensjahr beträgt die Überlebensrate 0,6 (wie auch bei den vorher betrachteten Seevögeln im 2. Lebensjahr). Die 1. Brut findet im 2. Lebensjahr statt (also ein Jahr früher als bei der anderen Vogelart), der Bruterfolg liegt bei 0,8 Jungvögeln pro Elternvogel und Jahr, also deutlich höher als bei der anderen Vogelart. 

Die Lösungsvorschläge liegen nicht in der Verantwortung des jeweiligen Kultusministeriums.

Registriere dich, um den vollen Inhalt zu sehen!
Deine Vorteile
  • Bessere Noten mit über 15.000 Lerninhalten in 9 Fächern
  • Originalklassenarbeiten, Musterlösungen und Übungen
  • NEU: Persönliche WhatsApp-Nachhilfe

VERSTÄNDLICH

PREISWERT

ZEITSPAREND

Next

Weitere Mathethemen findest du hier

Wähle deine Klassenstufe

Weitere Musterlösungen findest du hier