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Wie du Funktionsgraphen ihre Ableitungsfunktion zuordnest


Schritt-für-Schritt-Anleitung

Wie du Funktionsgraphen ihre Ableitungsfunktion zuordnest

Aufgabe

Gegeben ist ein Funktionsgraph und vier mögliche Graphen der 1. Ableitung. Welcher der Ableitungsgraphen A, B, C und D gehört zum Funktionsgraphen? Begründe deine Antwort.

  Wie du Funktionsgraphen ihre Ableitungsfunktion zuordnest - Abbildung 1 

Wie du Funktionsgraphen ihre Ableitungsfunktion zuordnest - Abbildung 2       Wie du Funktionsgraphen ihre Ableitungsfunktion zuordnest - Abbildung 3        Wie du Funktionsgraphen ihre Ableitungsfunktion zuordnest - Abbildung 4      Wie du Funktionsgraphen ihre Ableitungsfunktion zuordnest - Abbildung 5

Hinweis

Bei Polynomfunktionen ist der Grad der Ableitung immer um eins kleiner als der Grad der ursprünglichen Funktion.

Bei den x-Werten, bei denen die Funktion Extrempunkte besitzt, hat die 1. Ableitung Nullstellen.

In den Bereichen, in denen der Funktionsgraph steigt, muss die 1. Ableitung positiv sein; dort, wo der Funktionsgraph fällt, ist die 1. Ableitung negativ.

Schritt 1: Überprüfe den Grad der Ableitungsfunktion

Die Funktion ist ein Polynom 3. Grades. Die Ableitungsfunktion muss deshlab 2. Grades sein. Ihr Graph muss also parabelförmig verlaufen. Damit scheidet Graph B aus.

Schritt 2: Bestimme die x-Werte der Extrempunkte des Funktionsgraphen

Der Funktionsgraph besitzt einen Hochpunkt bei x = 1 und einen Tiefpunkt bei x = 3. Die zugehörige Ableitungsfunktion muss also an diesen Stellen Nullstellen besitzen. Bei Graph A ist das nicht der Fall. Er scheidet also aus.

Wie du Funktionsgraphen ihre Ableitungsfunktion zuordnest - Abbildung 6     Wie du Funktionsgraphen ihre Ableitungsfunktion zuordnest - Abbildung 7    Wie du Funktionsgraphen ihre Ableitungsfunktion zuordnest - Abbildung 8  Wie du Funktionsgraphen ihre Ableitungsfunktion zuordnest - Abbildung 9

Schritt 3: Untersuche das Steigungsverhalten des Funktionsgraphen

Der Funktionsgraph steigt bis x = 1, fällt zwischen x = 1 und x = 3 und steigt nach x = 3 wieder an.

Wie du Funktionsgraphen ihre Ableitungsfunktion zuordnest - Abbildung 10      Wie du Funktionsgraphen ihre Ableitungsfunktion zuordnest - Abbildung 11      Wie du Funktionsgraphen ihre Ableitungsfunktion zuordnest - Abbildung 12

Die 1. Ableitung muss also bis x = 1 positiv sein. Für den Graphen C gilt das nicht, damit ist der Graph D der richtige Graph.

Lösung

Graph D ist der richtige Graph.

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