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Wie du den maximalen Definitionsbereich bestimmst


Schritt-für-Schritt-Anleitung

Wie du den maximalen Definitionsbereich bestimmst

Aufgabe

Gegeben ist die Funktion \(g:x\longmapsto\sqrt{3x+9}\) mit maximaler Definitionsmenge \(D\).

Bestimme \(D\).

Schritt 1: Ungleichung aufstellen und lösen

Wenn im Abitur eine Funktion einen eingeschränkten Definitionsbereich hat, dann enthält der Funktionsterm entweder einen Bruch oder eine Wurzel oder einen Logarithmus (oder irgendeine Kombination dieser drei). Die Funktion ist überall dort definiert, wo alle Brüche, Wurzeln und Logarithmen in ihrem Funktionsterm definiert sind. Dabei gilt:

  1. Ein Bruch ist überall definiert, wo sein Nenner nicht null ist. 
  2. Eine Wurzel ist überall definiert, wo der Term unter der Wurzel \(\geq0\) ist.
  3. Ein Logarithmus ist überall definiert, wo sein Argument (das, was in ihn eingesetzt wird) positiv ist.

Im Funktionsterm von \(g\) taucht nur eine Wurzel auf (keine Brüche, keine Logarithmen). Die Funktion ist also überall definiert, wo diese Wurzel definiert ist, also überall wo der Term unter der Wurzel nicht negativ ist. Die Funktion \(g\) ist somit genau dann an der Stelle \(x\) definiert, wenn

\(3x+9\geq 0\)

gewährleistet ist. Diese Ungleichung formst du wie folgt um.

\(3x+9\geq 0\)

\(|-9\)

\(3x\geq -9\)

\(|:3\)

\(x\geq(-9):3=-3\)

 

Schritt 2: Definitionsbereich angeben

Der Definitionsbereich der Funktion \(g\) ist also die Menge aller \(x\), die größer oder gleich \(-3\) sind.

\(D=[-3;\infty[\)

 

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