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Wie du bedingte Wahrscheinlichkeit mit Vierfeldertafeln bestimmst


Schritt-für-Schritt-Anleitung

Wie du bedingte Wahrscheinlichkeit mit Vierfeldertafeln bestimmst

Aufgabe

An einem Sommercamp mit Sportangebot haben insgesamt 1200 Kinder teilgenommen. Mit insgesamt 1080 Kindern war der Fußballkurs der beliebteste, hier verletzten sich allerdings 54 Kinder. In allen anderen Sportarten zusammen verletzten sich nur 7 Kinder.

a) Mit welcher Wahrscheinlichkeit war ein verletztes Kind aus dem Fußballkurs?

b) Vergleiche die Verletzungswahrscheinlichkeiten unter den Fußballern und den Nichtfußballern. Was war gefährlicher?

Hinweis

Hier werden zwei unterschiedliche Merkmale betrachtet. Bei solchen Aufgaben ist eine Vierfeldertafel meistens die beste Wahl.

Lösungsschritte für Teilaufgabe a)

a) Mit welcher Wahrscheinlichkeit war ein verletztes Kind aus dem Fußballkurs?

Schritt 1: Erstelle die Vierfeldertafel

Als Erstes legst du eine Vierfeldertafel mit passenden Bezeichnungen an. \(F\) steht für „Fußballer“, \(\overline{F}\) steht für „Nichtfußballer“, \(V\) steht für „Verletzter“ und \(\overline{V}\) für „Nichtverletzter“. Dann trägst du die Werte aus der Angabe in die richtigen Felder ein.

  \(F\) \(\overline{F}\)  
\(V\) \(54\) \(7\)  
\(\overline{V}\)      
  \(1080\)   \(1200\)

Als Nächstes ergänzt du die restlichen Felder der Tafel. Dabei darfst du nur plus und minus rechnen. Das kannst du hier noch einmal üben. Es ergibt sich:

  \(F\) \(\overline{F}\)  
\(V\) \(54\) \(7\) \(61\)
\(\overline{V}\) \(1026 \) \(113 \) \(1139 \)
  \(1080\) \(120\) \(1200\)

Das ist die Vierfeldertafel mit absoluten Häufigkeiten. Wenn du nun jede Zahl durch 1200 teilst, bekommst du relative Häufigkeiten oder Wahrscheinlichkeiten.

  \(F\) \(\overline{F}\)  
\(V\) \(\frac{54}{1200}\) \(\frac{7}{1200}\) \(\frac{61}{1200}\)
\(\overline{V}\) \(\frac{1026}{1200}\) \(\frac{113}{1200}\) \(\frac{1139}{1200}\)
  \(\frac{1080}{1200}\) \(\frac{120}{1200}\) \(1\)

Schritt 2: Verwende die Formel für bedingte Wahrscheinlichkeiten

Bei der gesuchten Wahrscheinlichkeit werden nicht alle Kinder betrachtet, sondern nur die verletzten. Deswegen ist es eine bedingte Wahrscheinlichkeit. Wir berechnen diese zuerst strikt nach der Formel:

\(P_{V}(F)=\frac{P(V \cap F)}{P(V)} = \frac{\frac{54}{1200}}{\frac{61}{1200}} \approx 88,5\ \%\)

Jetzt noch einmal anschaulich: Du ignorierst die untere Zeile und betrachtest nur die Zeile der Verletzten. In dieser Zeile berechnest du den Anteil der Fußballer. Dazu kannst du statt der Wahrscheinlichkeiten auch nur die Anzahlen verwenden. Am Ergebnis ändert das nichts.

\(P_{V}(F)=\frac{P(V \cap F)}{P(V)} = \frac{54}{61} \approx 88,5\ \%\)

Lösungsschritte für Teilaufgabe b)

b) Vergleiche die Verletzungswahrscheinlichkeiten unter den Fußballern und den Nichtfußballern. Was war gefährlicher?

Schritt 1: Erstelle die Vierfeldertafel

Diesen Schritt hast du bereits erledigt.

  \(F\) \(\overline{F}\)  
\(V\) \(\frac{54}{1200}\) \(\frac{7}{1200}\) \(\frac{61}{1200}\)
\(\overline{V}\) \(\frac{1026}{1200}\) \(\frac{113}{1200}\) \(\frac{1139}{1200}\)
  \(\frac{1080}{1200}\) \(\frac{120}{1200}\) \(1\)

Schritt 2: Verwende die Formel für bedingte Wahrscheinlichkeiten

Nun betrachtest du – getrennt voneinander – erst die Spalte der Fußballer und dann die der Nichtfußballer. Für beide berechnest du den Anteil der Verletzten nach der Formel:

\(P_{F}(V)=\frac{P(V \cap F)}{P(F)} = \frac{\frac{54}{1200}}{\frac{1080}{1200}} = 0,05 = 5\ \%\)

\(P_{\overline{F}}(V)=\frac{P(V \cap F)}{P(\overline{F})} = \frac{\frac{7}{1200}}{\frac{120}{1200}} = 0,0583 \approx 5,8\ \%\)

Die Verletzungswahrscheinlichkeiten sind also ungefähr gleich groß. Die große Zahl der verletzten Fußballer entsteht nur durch die große Teilnehmerzahl.

Lösungen

a) Die Wahrscheinlichkeit, dass ein verletztes Kind in der Fußballgruppe war, ist 88,5 %.

\(P_{V}(F)=\frac{P(V \cap F)}{P(V)} = \frac{\frac{54}{1200}}{\frac{61}{1200}} \approx 88,5\ \%\)

b) \(P_{F}(V)=\frac{P(V \cap F)}{P(F)} = \frac{\frac{54}{1200}}{\frac{1080}{1200}} = 0,05 = 5\ \%\)
   \(P_{\overline{F}}(V)=\frac{P(V \cap F)}{P(\overline{F})} = \frac{\frac{7}{1200}}{\frac{120}{1200}} = 0,0583 \approx 5,8\ \%\)

Die Verletzungswahrscheinlichkeiten sind ungefähr gleich groß. Die große Zahl der verletzten Fußballer entsteht nur durch die große Teilnehmerzahl.

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