Bessere Noten mit Duden Learnattack Jetzt kostenlos testen
 

Wie du Funktionsgraphen ihre Ableitungsfunktion zuordnest


Aufgabe

Gegeben ist ein Funktionsgraph und vier mögliche Graphen der 1. Ableitung. Welcher der Ableitungsgraphen A, B, C und D gehört zum Funktionsgraphen? Begründe deine Antwort.

  Wie du Funktionsgraphen ihre Ableitungsfunktion zuordnest - Abbildung 1 

Wie du Funktionsgraphen ihre Ableitungsfunktion zuordnest - Abbildung 2       Wie du Funktionsgraphen ihre Ableitungsfunktion zuordnest - Abbildung 3        Wie du Funktionsgraphen ihre Ableitungsfunktion zuordnest - Abbildung 4      Wie du Funktionsgraphen ihre Ableitungsfunktion zuordnest - Abbildung 5

Hinweis

Bei Polynomfunktionen ist der Grad der Ableitung immer um eins kleiner als der Grad der ursprünglichen Funktion.

Bei den x-Werten, bei denen die Funktion Extrempunkte besitzt, hat die 1. Ableitung Nullstellen.

In den Bereichen, in denen der Funktionsgraph steigt, muss die 1. Ableitung positiv sein; dort, wo der Funktionsgraph fällt, ist die 1. Ableitung negativ.

Schritt 1: Überprüfe den Grad der Ableitungsfunktion

Die Funktion ist ein Polynom 3. Grades. Die Ableitungsfunktion muss deshlab 2. Grades sein. Ihr Graph muss also parabelförmig verlaufen. Damit scheidet Graph B aus.

Schritt 2: Bestimme die x-Werte der Extrempunkte des Funktionsgraphen

Der Funktionsgraph besitzt einen Hochpunkt bei x = 1 und einen Tiefpunkt bei x = 3. Die zugehörige Ableitungsfunktion muss also an diesen Stellen Nullstellen besitzen. Bei Graph A ist das nicht der Fall. Er scheidet also aus.

Wie du Funktionsgraphen ihre Ableitungsfunktion zuordnest - Abbildung 6     Wie du Funktionsgraphen ihre Ableitungsfunktion zuordnest - Abbildung 7    Wie du Funktionsgraphen ihre Ableitungsfunktion zuordnest - Abbildung 8  Wie du Funktionsgraphen ihre Ableitungsfunktion zuordnest - Abbildung 9

Schritt 3: Untersuche das Steigungsverhalten des Funktionsgraphen

Der Funktionsgraph steigt bis x = 1, fällt zwischen x = 1 und x = 3 und steigt nach x = 3 wieder an.

Wie du Funktionsgraphen ihre Ableitungsfunktion zuordnest - Abbildung 10      Wie du Funktionsgraphen ihre Ableitungsfunktion zuordnest - Abbildung 11      Wie du Funktionsgraphen ihre Ableitungsfunktion zuordnest - Abbildung 12

Die 1. Ableitung muss also bis x = 1 positiv sein. Für den Graphen C gilt das nicht, damit ist der Graph D der richtige Graph.

Lösung

Graph D ist der richtige Graph.

Registriere dich, um den vollen Inhalt zu sehen!

VERSTÄNDLICH

PREISWERT

ZEITSPAREND

Weitere Mathethemen findest du hier

Wähle deine Klassenstufe

Weitere Schritt-für-Schritt-Anleitungen findest du hier