Bessere Noten mit Duden Learnattack Jetzt kostenlos testen
 

Wie du die Veränderung von Graphen von Exponentialfunktionen bestimmst, wenn Anfangswert, Wachstumsfaktor oder x verändert werden


Aufgabe

Wie verändern sich die Funktionswerte der Funktion \(f(x) = 10 \cdot 3^x\) jeweils, wenn man

a) den Anfangswert verdoppelt?

b) den Wachstumsfaktor halbiert?

c) x um 4 vergrößert?

Lösungsschritt für Teilaufgabe a)

Wie verändern sich die Funktionswerte der Funktion \(f(x) = 10 \cdot 3^x\) jeweils, wenn man

a) den Anfangswert verdoppelt?

Schritt 1: Grafische Bedeutung des Anfangswerts benutzen

Die allgemeine Funktionsgleichung einer Exponentialfunktion lautet:

\(f(x) = b \cdot a^x\)

Dabei ist b der Anfangswert. Im Koordinatensystem ist b der Schnittpunkt des Graphen mit der y-Achse.

Die Funktion \(f(x) = 10 \cdot 3^x\) schneidet die y-Achse also im Punkt (0|10). Verdoppelt man den Anfangswert, so schneidet sie die y-Achse im Punkt (0|20).

Insgesamt wird der Graph der ursprünglichen Funktion um den Faktor 2 (wegen „verdoppeln“) in Richtung der y-Achse gestreckt.

Wie du die Veränderung von Graphen von Exponentialfunktionen bestimmst, wenn Anfangswert, Wachstumsfaktor oder x verändert werden - Abbildung 1

Lösungsschritt für Teilaufgabe b)

Wie verändern sich die Funktionswerte der Funktion \(f(x) = 10 \cdot 3^x\) jeweils, wenn man

b) den Wachstumsfaktor halbiert?

Schritt 1: Grafische Bedeutung des Wachstumsfaktors benutzen

Die allgemeine Funktionsgleichung von Exponentialfunktionen lautet:

\(f(x) = b \cdot a^x\)

Dabei ist a der Wachstumsfaktor. Wenn du den Wachstumsfaktor veränderst, dann verändert sich die Steigung des Graphen. Je größer der Wachstumsfaktor, desto steiler steigt der Graph. Wird der Wachstumsfaktor hingegen kleiner, so wie bei dieser Aufgabe, so wird der Graph flacher. Wenn der Wachstumsfaktor eine Zahl zwischen null und eins ist, dann fällt der Graph der Funktion.

Wenn nur der Wachstumsfaktor verändert wird, dann bleibt der Schnittpunkt des Graphen mit der y-Achse erhalten.

Halbiert man bei der Funktion \(f(x) = 10 \cdot 3^x\) den Wachstumsfaktor, dann wird der Graph flacher, aber er schneidet die y-Achse immer noch bei (0|10).

Wie du die Veränderung von Graphen von Exponentialfunktionen bestimmst, wenn Anfangswert, Wachstumsfaktor oder x verändert werden - Abbildung 2

Lösungsschritt für Teilaufgabe c)

Wie verändern sich die Funktionswerte der Funktion \(f(x) = 10 \cdot 3^x\) jeweils, wenn man

c) x um 4 vergrößert?

Schritt 1: Veränderung berechnen

Du sollst berechnen, wie sich die Funktionsterme der Funktion \(f(x) = 10 \cdot 3^x\) verändern, wenn x um 4 vergrößert wird. Dazu addierst du im Funktionsterm 4 zu x dazu.

\(f_2(x) = 10 \cdot 3^{x+4}\)

Nun benutzt du das 1. Potenzgesetz, um diesen Funktionsterm umzuformen.

\(f_2(x) = 10 \cdot 3^{x+4}\) = \(10 \cdot 3^x \cdot 3^4\)

Wenn du den entstandenen Funktionsterm mit der ursprünglichen Funktion vergleichst, siehst du, dass der Faktor \(3^4\) hinzugekommen ist.

Wenn x um 4 vergrößert wird, dann wird der Funktionsterm also um den Faktor \(3^4\) größer.

Lösung

Teilaufgabe a): Wird der Anfangswert verdoppelt, so wird der Graph der Funktion mit dem Faktor 2 in Richtung der y-Achse gestreckt. Er schneidet die y-Achse jetzt im Punkt (0|20).

Teilaufgabe b): Wird der Wachstumsfaktor halbiert, so steigt der Graph flacher an. Er schneidet die y-Achse immer noch im Punkt (0|10).

Teilaufgabe c): Wird x um 4 größer, so wird der Funktionsterm mit dem Faktor \(3^4\) multipliziert.

Registriere dich, um den vollen Inhalt zu sehen!

VERSTÄNDLICH

PREISWERT

ZEITSPAREND

Weitere Mathethemen findest du hier

Wähle deine Klassenstufe

Weitere Schritt-für-Schritt-Anleitungen findest du hier