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Wie du die stochastische Unabhängigkeit prüfst


Aufgabe

In der Jahrgangsstufe 10 des Grimmelshausen-Gymnasiums können die Schüler zwischen Kunst und Musik wählen. Die Wahlergebnisse sind hier nach Wahlfach und Geschlecht verteilt notiert.

Geschlecht

Wahlfach

Jungen Mädchen insgesamt
Kunst \(44\) \(42\) \(86\)
Musik \(26\) \(38\) \(64\)
insgesamt \(70\) \(80\) \(150\)

 

Untersuche, ob in der Jahrgangsstufe 10 des Grimmelshausen-Gymnasiums die Wahl des musischen Neigungsfaches vom Geschlecht unabhängig ist.

Schritt 1: Bedingung für stochastische Unabhängigkeit prüfen

Um Schreibaufwand zu sparen und die Rechnung übersichtlicher zu machen, solltest du für die Ereignisse, die hier eine Rolle spielen, Abkürzungen einführen.

Setze zum Beispiel

\(K\): „ein zufällig ausgewählter Schüler wählt Kunst“

und

\(J\): „ein zufällig ausgewählter Schüler ist Junge“.

Die Ereignisse \(K\) und \(J\) sind stochastisch unabhängig, wenn gilt: \(\color{green} {P(K)\cdot P(J)=P(K\cap J)}\).

Dabei ist

\(P(K)=\frac{\text{Anzahl der Schüler, die Kunst gewählt haben}}{\text{Gesamtzahl der Schüler}}=\frac{86}{150}=\frac{43}{75}\)

laut der Formel von Laplace. Des Weiteren ist

\(P(J)=\frac{\text{Anzahl der Jungen}}{\text{Gesamtzahl der Schüler}}=\frac{70}{150}=\frac{7}{15}\)

und

\(P(K\cap J)=\frac{\text{Anzahl der Jungen, die Kunst gewählt haben}}{\text{Gesamtzahl der Schüler}}=\frac{44}{150}=\frac{22}{75}\).

Die drei gerade berechneten Größen \(P(K)\), \(P(J)\) und \(P(K\cap J)\) musst du in die grüne Gleichung einsetzen und prüfen, ob dabei eine wahre Aussage entsteht:

\(P(K)\cdot P(J)=P(K\cap J)\)

wird dabei zu

\(\frac{43}{75}\cdot\frac{7}{15}=\frac{22}{75}\).

Die linke Seite ist

\(\frac{43}{75}\cdot\frac{7}{15}=\frac{301}{1125}\approx 0,268\)

und die rechte Seite ist

\(\frac{22}{75}\approx 0,293\).

Die zwei Seiten sind also nicht gleich. Somit ist die Bedingung für stochastische Unabhängigkeit nicht erfüllt, also sind die Ereignisse \(K\) und \(J\) stochastisch abhängig.

Bemerkung

Du kannst auch genausogut die Gegenereignisse \(\overline{J} („Mädchen“) \) und \(\overline{K} („Musik“) \) auf stochastische Unabhängigkeit prüfen, oder die Ereignisse „Mädchen“ und „Kunst“. Du kommst immer auf das gleiche Ergebnis.

Lösung:

Die Wahl des musischen Faches ist stochastisch vom Geschlecht abhängig.

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