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Wie du die mittlere Änderungsrate bestimmst


Aufgabe

Die Funktion \(f(x)=-0,015x^{3}+0,4x^{2}-1,4x+11\)  gibt die Temperatur an einem heißen Sommertag zwischen 0 Uhr und 22 Uhr in Grad Celsius an. Dabei ist x die Uhrzeit, zu der die Temperatur f(x) gemessen wird. Bestimme die mittlere Änderungsrate der Temperatur zwischen 0 Uhr und 10 Uhr.

Wie du die mittlere Änderungsrate bestimmst - Abbildung 1

Schritt 1: Schreibe die Formel für den Differenzenquotienten auf

Wenn nach der mittleren Änderungsrate einer Funktion gefragt wird, musst du immer den Differenzenqotienten berechnen. Schreibe dazu zuerst die Formel für den Differenzenquotienten auf. Sie lautet:

\(\frac{f(x_{2})\ -\ f(x_{1})}{x_{2}\ -\ x_{1}}\)

Schritt 2: Berechne die Funktionswerte 

\(x_{1}\) ist der kleinere und \(x_{2}\) der größere x-Wert, hier also die Uhrzeiten 0 und 10 Uhr. In unserem Beispiel ist also \(x_{1}=0\) und \(x_{2}=10\). Um \(f(x_{1})\) – also bei unserer Aufgabe \(f(0)\) – zu berechnen, musst du 0 in den Funktionsterm einsetzen. Du erhältst

\(f(0)=-0,015\cdot 0^{3}+0,4\cdot 0^{2}-1,4\cdot 0+11=11\)

und genauso:

\(f(10)=-0,015\cdot 10^{3}+0,4\cdot 10^{2}-1,4\cdot 10+11=22\)

Schritt 3: Setze die x-Werte und Funktionswerte in die Formel ein

Setze nun die Werte \(x_{1}\), \(x_{2}\), \(f(x_{1})\) und \(f(x_{2})\) in die Formel \(\frac{f(x_{2})\ -\ f(x_{1})}{x_{2}\ -\ x_{1}}\) ein. Du erhältst:

\(\frac{f(10)\ -\ f(0)}{10\ -\ 0}=\frac{22\ -\ 11}{10}=1,1\)

Schritt 4: Bestimme die richtige Einheit 

Da die Funktionswerte im Zähler des Bruchs der Formel die Temperatur in Grad Celsius angeben und die x-Werte im Nenner Uhrzeiten in Stunden, ist die Einheit °C pro Stunde.

Lösung

Die mittlere Änderungsrate zwischen 0 Uhr und 10 Uhr beträgt 1,1 °C pro Stunde.

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