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Wie du die Lagebeziehung zwischen einer Geraden und einer Ebene bestimmen kannst


Aufgabe

Die Abbildung zeigt modellhaft ein Einfamilienhaus, das auf einer horizontalen Fläche steht. Auf einer der beiden rechteckigen Dachflächen soll eine Dachgaube errichtet werden. Die Punkte A, B, C, D, O, P, Q und R sind die Eckpunkte eines Quaders. Das gerade dreiseitige Prisma L, M, N, I, J, K stellt die Dachgaube dar, die Strecke [GH] den First des Daches, d.h. die obere waagerechte Dachkante. Eine Längeneinheit im Koordinatensystem entspricht 1 m, das heißt, das Haus ist 10 m lang.

Wie du die Lagebeziehung zwischen einer Geraden und einer Ebene bestimmen kannst - Abbildung 1

Die Dachfläche, auf der die Dachgaube errichtet wird, liegt im Modell in der Ebene \(E:3x_1+4x_3-44=0\).

Die Dachgaube soll so errichtet werden, dass sie von dem seitlichen Rand der Dachfläche, der im Modell durch die Strecke [HC] dargestellt wird, den Abstand 2 m und vom First des Daches den Abstand 1 m hat. Zur Ermittlung der Koordinaten des Punktes M wird die durch den Punkt T(4|8|8) verlaufende Gerade
\(t:\vec{x}=\begin{pmatrix}4\\8\\8\end{pmatrix}+\lambda\begin{pmatrix}4\\0\\-3\end{pmatrix},\lambda\in\mathbb{R},\) betrachtet.

Begründe, dass \(t\) in der Ebene \(E\) verläuft.

Schritt 1: Skalarprodukt des Normalenvektors von E mit dem Richtungsvektor von t berechnen

Es gibt drei mögliche Lagebeziehungen zwischen einer Ebene \(E\) und einer Geraden \(t\):

  1. Die Gerade \(t\) ist ganz in der Ebene \(E\) enthalten.
  2. Die Gerade \(t\) hat genau einen Schnittpunkt mit der Ebene \(E\).
  3. Die Gerade \(t\) hat keinen Schnittpunkt mit der Ebene \(E\).

Im 1. und 3. Fall verlaufen \(t\) und \(E\) parallel, im 2. Fall nicht. Den 1. Fall unterscheidet man vom 3., indem man einen Schnittpunkt findet.

Bei dieser Aufgabe ist zu zeigen, dass der 1. Fall eintritt. Dazu zeigen wir im 1. Schritt, dass \(E\) und \(t\) parallel sind (was den 2. Fall ausschließt) und im 2. Schritt, dass es einen Schnittpunkt gibt (was den 3. Fall ausschließt).

Um zu zeigen, dass \(E\) und \(t\) parallel sind, musst du prüfen, ob der Richtungsvektor der Geraden auf dem Normalenvektor der Ebene senkrecht steht.

Aus der vorgegebenen Koordinatengleichung für \(E\) kannst du sofort einen Normalenvektor ablesen:

\(E:3x_1+4x_3-44=0\) hat als Koeffizient von \(x_1\) die 3, als Koeffizient von \(x_3\) die 4 und als Koeffizient von \(x_2\) die 0 (denn \(x_2\) kommt gar nicht vor). Diese Koeffizienten bilden zusammen den Normalenvektor:

\(\vec{n}=\begin{pmatrix}3\\0\\4\end{pmatrix}\)

Der Richtungsvektor der Geraden \(t\) ist derjenige, der mit dem Laufparameter \(\lambda\) multipliziert wird, also\( \begin{pmatrix}4\\0\\-3\end{pmatrix}\).

Das Skalarprodukt dieser beiden Vektoren ist

\(\begin{pmatrix}3\\0\\4\end{pmatrix}\circ\begin{pmatrix}4\\0\\-3\end{pmatrix}=3\cdot 4+0\cdot 0+4\cdot(-3)=0\),

also stehen sie senkrecht aufeinander. Die folgende Skizze zeigt den allgemeinen Fall einer blauen Geraden, die senkrecht auf dem (hier nach oben gerichteten) Normalenvektor einer Ebene steht.

Wie du die Lagebeziehung zwischen einer Geraden und einer Ebene bestimmen kannst - Abbildung 2

Wie man sieht, folgt daraus, dass die Gerade und die Ebene parallel verlaufen.

Schritt 2: Prüfen, ob der Aufpunkt der Geraden in der Ebene liegt

Um zu zeigen, dass die Gerade ganz in der Ebene verläuft, genügt es, einen Punkt der Geraden anzugeben, der in der Ebene liegt. Aufgrund der Parallelität liegen dann nämlich alle anderen Punkt der Geraden auch in der Ebene.

Welchen Punkt der Geraden du wählst, ist völlig egal. Am einfachsten gehts mit dem Aufpunkt \(\begin{pmatrix}4\\8\\8\end{pmatrix}\) von \(t\). Setze dessen Koordinaten in die Gleichung der Ebene \(E\) ein.

\(3\cdot 4+4\cdot 8-44=0\)

Diese Gleichung ist eine wahre Aussage, also liegt der Punkt \(\begin{pmatrix}4\\8\\8\end{pmatrix}\) der Geraden \(t\) auch in der Ebene \(E\).

Somit ist der Beweis abgeschlossen, dass \(t\) in \(E\) verläuft.

Bemerkung

Falls du in einer Aufgabe die Lagebeziehung einer Ebene zu einer nicht parallelen Geraden bestimmen musst, dann merkst du das daran, dass im ersten Schritt das Skalarprodukt aus Normalenvektor der Ebene und Richtungsvektor der Geraden nicht null ist. An dieser Stelle hast du dann zwar die Lagebeziehung bestimmt, aber viele Lehrer verlangen dann noch, dass du den Schnittpunkt der Geraden und der Ebene bestimmst. Dafür setzt du den allgemeinen Geradenpunkt in die Ebenengleichung ein und löst nach dem Parameter auf. Den so bestimmten Parameterwert setzt du dann in die Geradengleichung ein, um den Schnittpunkt zu bestimmen.
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