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Abiturprüfung

Abiturprüfung Lineare Algebra / Analytische Geometrie A4 2014 NRW GK

Abitur 120 Minuten

Die Entwicklung der Population einer bestimmten Seevogelart in einem festgelegten Beobachtungsgebiet wird durch folgende Modellannahmen beschrieben:

Die Überlebensrate der Vögel in den ersten beiden Lebensjahren wird jeweils mit \(0{,}6\) angenommen, in den späteren Lebensjahren mit \(0{,}8\). Die erste Brut findet im 3. Lebensjahr statt, der Bruterfolg wird mit \(0{,}5\) Jungvögeln pro Elternvogel und Jahr angenommen. Die Vögel werden in 3 Altersgruppen eingeteilt, deren Anzahlen

\(x_1\): Anzahl der Jungvögel im 1. Lebensjahr (Altersgruppe 1)
\(x_2\): Anzahl der Vögel im 2. Lebensjahr (Altersgruppe 2)
\(x_3\): Anzahl der Altvögel, die älter als 2 Jahre sind (Altersgruppe 3)

durch jährliche Zählungen ermittelt und jeweils zu einer Verteilung
\(\overrightarrow x=\left(\begin{array}{c}x_1\\ x_2\\x_3\end{array}\right)\)
zusammengefasst werden. (Verteilungsvektoren werden der Einfachheit halber im Folgenden kurz „Verteilung“ genannt.) Die Matrix
\(L =\begin{pmatrix}0 & 0 & 0{,}5\\ 0{,}6 & 0 &0 \\0 & 0{,}6& 0{,}8\end{pmatrix}\)
beschreibt dieses Modell.

Die Lösungsvorschläge liegen nicht in der Verantwortung des jeweiligen Kultusministeriums.

  • Aufgabe 1

    40 Minuten 15 Punkte

    a)

    Die aktuelle Zählung ergibt \(x_1 = 2000\)\(x_2 = 4000\) und \(x_3 = 15.000\).

    1. Berechnen Sie, ausgehend von diesen Zahlen, die Verteilung der Vögel nach einem Jahr und nach 2 Jahren.
    2. Bestimmen Sie die Verteilung der Vögel, die sich aus dem Modell für das Vorjahr ergäbe. 
    3. 5 Elemente der Matrix \(L\) haben den Wert \(0\). Erklären Sie für jedes dieser Elemente aus dem Sachzusammenhang heraus, warum es den Wert \(0\) hat.
  • Aufgabe 2

    56 Minuten 21 Punkte

    b)

    1. Untersuchen Sie, ob es eine von  verschiedene stationäre Verteilung gibt, d. h. eine Verteilung, die sich innerhalb eines Jahres nicht ändert.
    2. Wenn sich die Population sehr lange nach dem durch die Matrix  beschriebenen Modell entwickelt, wird sie sich pro Jahr näherungsweise um einen festen Prozentsatz  verkleinern. Nach  Jahren wird sie noch aus insgesamt  Vögeln, nach weiteren  Jahren aus  Vögeln bestehen. 
      Berechnen Sie anhand dieser Angaben einen Näherungswert für den Prozentsatz .
    3. Langfristig gilt . Ermitteln Sie näherungsweise, in wie viel Jahren sich unter dieser Voraussetzung die Population jeweils halbiert.

    Durch Schutzmaßnahmen wird – bei sonst gleichbleibenden Modellannahmen – der Bruterfolg auf die Quote von  Jungvögel pro Elternvogel und Jahr erhöht.

    1. Zeigen Sie, dass die Verteilung  für jede positive ganze Zahl  eine stationäre Verteilung ist.
    2. Berechnen Sie für eine konkrete stationäre Verteilung aus (4) die prozentualen Anteile jeder der 3 Altersgruppen an der Gesamtzahl der Vögel und zeigen Sie, dass sich für jede stationäre Verteilung aus (4) unabhängig von  dieselben Anteile ergeben.
  • Aufgabe 3

    24 Minuten 24 Punkte

    c)

    Die Entwicklung einer Population einer anderen Vogelart ist durch den unten stehenden Übergangsgraphen gegeben, wobei sich die Übergangsquoten wieder auf ein Jahr beziehen.

     

    1. Geben Sie dazu eine Übergangsmatrix  an.
    2. Beschreiben Sie anhand des Übergangsgraphen, nach welchen Modellannahmen die Entwicklung der Population dieser anderen Vogelart im Vergleich zur bisher betrachteten Seevogelart abläuft.